Давайте решим систему уравнений шаг за шагом. У нас есть три уравнения:

• 1) x + y + z = 0
• 2) xy + yz = -1
• 3) x² + y² + z² = 6

Первое уравнение можно использовать, чтобы выразить одну переменную через другие. Например, выразим z через x и y:

Из первого уравнения получаем:

z = -x - y

Теперь подставим это выражение для z во второе и третье уравнения.

Подставляем z во второе уравнение:

xy + y(-x - y) = -1

Это упростится до:

xy - xy - y² = -1

Отсюда получаем:

-y² = -1

y² = 1

Таким образом, y может принимать два значения:

• y = 1
• y = -1

Теперь рассмотрим каждое из значений y отдельно.

Если y = 1, подставим это значение в выражение для z:

z = -x - 1

Теперь подставим y и z в третье уравнение:

x² + 1² + (-x - 1)² = 6

Раскроем скобки:

x² + 1 + (x² + 2x + 1) = 6

Соберем все вместе:

2x² + 2x + 2 = 6

2x² + 2x - 4 = 0

Разделим уравнение на 2:

x² + x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = 1, c = -2.

Дискриминант D = 1² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Корни:

x = (-1 ± 3) / 2

• x1 = 1
• x2 = -2

Теперь найдем z для каждого из значений x:

• Если x = 1, то z = -1 - 1 = -2
• Если x = -2, то z = -(-2) - 1 = 1

Таким образом, для y = 1 у нас получаются пары:

• (x, y, z) = (1, 1, -2)
• (x, y, z) = (-2, 1, 1)

Теперь рассмотрим случай, когда y = -1:

z = -x + 1

Подставим y и z в третье уравнение:

x² + (-1)² + (-x + 1)² = 6

Раскроем скобки:

x² + 1 + (x² - 2x + 1) = 6

Соберем все вместе:

2x² - 2x + 2 = 6

2x² - 2x - 4 = 0

Разделим уравнение на 2:

x² - x - 2 = 0

Решим это уравнение аналогично:

D = (-1)² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.

Корни:

x = (1 ± 3) / 2

• x1 = 2
• x2 = -1

Теперь найдем z:

• Если x = 2, то z = -2 + 1 = -1
• Если x = -1, то z = 1 + 1 = 2

Таким образом, для y = -1 у нас получаются пары:

• (x, y, z) = (2, -1, -1)
• (x, y, z) = (-1, -1, 2)

• (1, 1, -2)
• (-2, 1, 1)
• (2, -1, -1)
• (-1, -1, 2)

Таким образом, мы нашли все возможные решения данной системы уравнений.