Давайте по порядку решим каждую из указанных систем уравнений.

• x² - y² = -21
• x + y = -3

Первым шагом мы можем выразить y через x из второго уравнения:

y = -3 - x

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

x² - (-3 - x)² = -21

Раскроем скобки:

x² - (9 + 6x + x²) = -21

Упростим уравнение:

-9 - 6x = -21

6x = 12

x = 2

Теперь найдем y:

y = -3 - 2 = -5

Таким образом, решение первой системы: x = 2, y = -5.

• x² + y² = 74
• x - y = 2

Сначала выразим y через x из второго уравнения:

y = x - 2

Теперь подставим это значение в первое уравнение:

x² + (x - 2)² = 74

Раскроем скобки:

x² + (x² - 4x + 4) = 74

Упростим:

2x² - 4x + 4 = 74

2x² - 4x - 70 = 0

Разделим на 2:

x² - 2x - 35 = 0

Теперь найдем корни этого уравнения. Используем дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 1 * (-35) = 4 + 140 = 144

Корни:

x = (2 ± √144) / 2 = (2 ± 12) / 2

Таким образом, x = 7 или x = -5.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 7, то y = 7 - 2 = 5.

Если x = -5, то y = -5 - 2 = -7.

Решение второй системы: (7, 5) и (-5, -7).

• x² + 4y² = 34
• x + y = 7

Сначала выразим y через x из второго уравнения:

y = 7 - x

Подставим это значение в первое уравнение:

x² + 4(7 - x)² = 34

Раскроем скобки:

x² + 4(49 - 14x + x²) = 34

Упростим:

x² + 196 - 56x + 4x² = 34

5x² - 56x + 162 = 0

Теперь найдем дискриминант:

D = (-56)² - 4 * 5 * 162 = 3136 - 3240 = -104

Так как дискриминант отрицательный, у данной системы нет действительных решений.

• x² - 2xy - y² = 1
• x + y = 7

Сначала выразим y через x из второго уравнения:

y = 7 - x

Подставим это значение в первое уравнение:

x² - 2x(7 - x) - (7 - x)² = 1

Раскроем скобки:

x² - 14x + 2x² - (49 - 14x + x²) = 1

Упростим:

2x² - 14x - 49 + 14x - x² = 1

x² - 49 = 1

x² = 50

x = ±√50 = ±5√2.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Если x = 5√2, то y = 7 - 5√2.

Если x = -5√2, то y = 7 + 5√2.

Таким образом, решение четвертой системы: (5√2, 7 - 5√2) и (-5√2, 7 + 5√2).

Теперь у нас есть решения для всех систем уравнений!