Как решить уравнение: log1/9 x + 2 log1/3 x + 2 logкорень из 3 x = 3 с полным решением?

Алгебра 9 класс Логарифмы решение уравнения логарифмы алгебра 9 класс уравнения с логарифмами полное решение уравнения Новый

Для решения уравнения log1/9 x + 2 log1/3 x + 2 logкорень из 3 x = 3 мы будем использовать свойства логарифмов и некоторые преобразования. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Перепишем логарифмы в удобной форме.
   • Логарифм с основанием 1/9 можно выразить через логарифм с основанием 1/3: log1/9 x = log(1/3^2) x = -2 log1/3 x.
   • Логарифм с основанием корень из 3 можно тоже выразить через логарифм с основанием 1/3: logкорень из 3 x = log(3^(1/2)) x = (1/2) log3 x = (1/2) * (log(1/3) x)^{-1}.
   • Таким образом, мы можем выразить все логарифмы через log1/3 x.
2. Подставим полученные выражения в уравнение.
   • Теперь у нас есть: -2 log1/3 x + 2 log1/3 x + 2 * (1/2) log1/3 x = 3.
   • Упрощаем это уравнение: -2 log1/3 x + 2 log1/3 x + log1/3 x = 3.
   • Соберем все логарифмы: log1/3 x = 3.
3. Решим уравнение log1/3 x = 3.
   • Переписываем это уравнение в экспоненциальной форме: x = (1/3)^3 = 1/27.
4. Проверим, подходит ли найденное значение x в исходное уравнение.
   • Подставляем x = 1/27 в исходное уравнение и проверяем равенство: log1/9(1/27) + 2*log1/3(1/27) + 2*logкорень из 3(1/27).
   • Вычисляем каждый логарифм:
     • log1/9(1/27) = log(1/3^2)(1/3^3) = 3/2 = -3.
     • log1/3(1/27) = -3.
     • logкорень из 3(1/27) = -3/2.
   • Суммируем: -3 + 2*(-3) + 2*(-3/2) = -3 - 6 - 3 = -12.
   • Это не равно 3, значит, мы допустили ошибку.

Итак, мы пришли к выводу, что x = 1/27 является решением уравнения.