Как решить уравнения 3-2x|-1|=2|x| и |x+2|-|x-6|=|x|, учитывая, что необходимо подробно расписать знаки модуля?

Алгебра 9 класс Уравнения с модулями решение уравнений алгебра 9 класс знаки модуля уравнение с модулем подробное решение уравнений Новый

Решим оба уравнения по очереди, внимательно разбирая знаки модуля.

1. Уравнение 3 - 2x|-1| = 2|x|

Сначала упростим уравнение. Заметим, что | -1 | = 1, тогда уравнение можно переписать так:

3 - 2x = 2|x|.

Теперь рассмотрим два случая для |x|:

Случай 1: x ≥ 0

• В этом случае |x| = x.
• Подставим это в уравнение:
• 3 - 2x = 2x.
• Переносим все слагаемые с x в одну сторону:
• 3 = 2x + 2x.
• 3 = 4x.
• x = 3/4.

Случай 2: x < 0

• Здесь |x| = -x.
• Подставим это в уравнение:
• 3 - 2x = 2(-x).
• 3 - 2x = -2x.
• Переносим все слагаемые с x в одну сторону:
• 3 = -2x + 2x.
• 3 = 0, что является противоречием.

Таким образом, единственное решение уравнения 3 - 2x|-1| = 2|x| — это x = 3/4.

2. Уравнение |x + 2| - |x - 6| = |x|

Здесь тоже рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений x.

Случай 1: x < -2

• В этом случае |x + 2| = -(x + 2) и |x - 6| = -(x - 6), |x| = -x.
• Подставим это в уравнение:
• -(x + 2) - (-(x - 6)) = -x.
• Упрощаем:
• -x - 2 + x - 6 = -x.
• -8 = -x, откуда x = 8.
• Однако x = 8 не удовлетворяет условию x < -2.

Случай 2: -2 ≤ x < 6

• Здесь |x + 2| = x + 2 и |x - 6| = -(x - 6), |x| = x.
• Подставим это в уравнение:
• (x + 2) - (-(x - 6)) = x.
• x + 2 + x - 6 = x.
• 2x - 4 = x.
• 2x - x = 4.
• x = 4.
• Это значение удовлетворяет условию -2 ≤ x < 6.

Случай 3: x ≥ 6

• В этом случае |x + 2| = x + 2 и |x - 6| = x - 6, |x| = x.
• Подставим это в уравнение:
• (x + 2) - (x - 6) = x.
• x + 2 - x + 6 = x.
• 8 = x, что удовлетворяет условию x ≥ 6.

Таким образом, у уравнения |x + 2| - |x - 6| = |x| два решения: x = 4 и x = 8.

В итоге, мы нашли решения для обоих уравнений:

• Для первого уравнения: x = 3/4.
• Для второго уравнения: x = 4 и x = 8.