Какое наибольшее значение суммы x + y, если (x; y) является решением системы уравнений {(x^2 = 3x + y) и (y^2 = 3y + x)?

Алгебра 9 класс Системы уравнений алгебра 9 класс система уравнений максимальное значение сумма x и y решение уравнений Новый

Для решения данной системы уравнений, давайте сначала перепишем каждое уравнение в более удобной форме:

• Первое уравнение: x^2 - 3x - y = 0
• Второе уравнение: y^2 - 3y - x = 0

Теперь мы можем выразить y через x из первого уравнения:

y = x^2 - 3x

Подставим это значение y во второе уравнение:

y^2 - 3y - x = 0

Подставляем y:

(x^2 - 3x)^2 - 3(x^2 - 3x) - x = 0

Раскроем скобки:

(x^4 - 6x^3 + 9x^2) - (3x^2 - 9x) - x = 0

Соберем все слагаемые в одно уравнение:

x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 3x^2 + 9x - x = 0

Упрощаем:

x^4 - 6x^3 + 6x^2 + 8x = 0

Теперь вынесем x за скобки:

x(x^3 - 6x^2 + 6x + 8) = 0

Таким образом, одно из решений x = 0. Теперь найдем корни кубического уравнения:

x^3 - 6x^2 + 6x + 8 = 0

Для нахождения корней можно воспользоваться методом подбора или применить теорему Виета. Подбираем значения:

• Если x = 2: 2^3 - 6*2^2 + 6*2 + 8 = 8 - 24 + 12 + 8 = 4 (не корень)
• Если x = 4: 4^3 - 6*4^2 + 6*4 + 8 = 64 - 96 + 24 + 8 = 0 (корень)

Таким образом, x = 4 является корнем. Теперь подставим x = 4 обратно в уравнение для y:

y = 4^2 - 3*4 = 16 - 12 = 4.

Теперь у нас есть одно решение: (4, 4). Сумма x + y = 4 + 4 = 8.

Теперь проверим, есть ли другие корни кубического уравнения:

Разделим x^3 - 6x^2 + 6x + 8 на (x - 4) с помощью деления многочленов, чтобы найти другие возможные корни:

После деления получаем:

x^2 - 2x - 2 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4*1*(-2) = 4 + 8 = 12.

Корни уравнения:

x = (2 ± √12) / 2 = 1 ± √3.

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для x = 1 + √3:

y = (1 + √3)^2 - 3(1 + √3) = (1 + 2√3 + 3) - (3 + 3√3) = 4 - √3.

Сумма: (1 + √3) + (4 - √3) = 5.

Для x = 1 - √3:

y = (1 - √3)^2 - 3(1 - √3) = (1 - 2√3 + 3) - (3 - 3√3) = 4 + √3.

Сумма: (1 - √3) + (4 + √3) = 5.

Таким образом, у нас есть три решения:

• (0, 0) с суммой 0;
• (4, 4) с суммой 8;
• (1 + √3, 4 - √3) и (1 - √3, 4 + √3) с суммой 5.

Наибольшее значение суммы x + y равно 8.