Какое значение n соответствует равенству Sn=3069 для геометрической прогрессии {un}, если выполнены условия u1 + u5=51 и u2 + u6=102?
Алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия равенство Sn=3069 значение N условия u1 + u5=51 u2 + u6=102 задачи по алгебре прогрессии математические уравнения Новый
Для решения этой задачи сначала напомним, что в геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:
un = u1 * qn-1
где u1 — первый член прогрессии, а q — её знаменатель.
Теперь давайте разберёмся с условиями задачи:
Подставим формулы для u5 и u6 в эти уравнения:
Теперь перепишем уравнения с учетом этих формул:
В первом уравнении вынесем u1 за скобки:
u1 * (1 + q4) = 51
Во втором уравнении также вынесем u1 за скобки:
u1 * q * (1 + q4) = 102
Теперь разделим второе уравнение на первое:
(u1 * q * (1 + q4)) / (u1 * (1 + q4)) = 102 / 51
После сокращения получаем:
q = 2
Теперь подставим значение q обратно в первое уравнение:
u1 * (1 + 24) = 51
u1 * (1 + 16) = 51
u1 * 17 = 51
u1 = 3
Теперь у нас есть u1 = 3 и q = 2. Теперь мы можем найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используя формулу суммы:
Sn = u1 * (qn - 1) / (q - 1)
Подставим известные значения:
3069 = 3 * (2n - 1) / (2 - 1)
3069 = 3 * (2n - 1)
1023 = 2n - 1
2n = 1024
Теперь определим n:
1024 — это 2 в степени 10, значит, n = 10.
Таким образом, значение n, соответствующее условию задачи, равно 10.