Какое значение n соответствует равенству Sn=3069 для геометрической прогрессии {un}, если выполнены условия u1 + u5=51 и u2 + u6=102?

Алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия алгебра 9 класс Геометрическая прогрессия равенство Sn=3069 значение N условия u1 + u5=51 u2 + u6=102 задачи по алгебре прогрессии математические уравнения Новый

Для решения этой задачи сначала напомним, что в геометрической прогрессии каждый член можно выразить через первый член и знаменатель прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии выглядит так:

u_n = u₁ * q^n-1

где u₁ — первый член прогрессии, а q — её знаменатель.

Теперь давайте разберёмся с условиями задачи:

1. u₁ + u₅ = 51
2. u₂ + u₆ = 102

Подставим формулы для u₅ и u₆ в эти уравнения:

• u₅ = u₁ * q⁴
• u₆ = u₁ * q⁵

Теперь перепишем уравнения с учетом этих формул:

1. u₁ + u₁ * q⁴ = 51
2. u₁ * q + u₁ * q⁵ = 102

В первом уравнении вынесем u₁ за скобки:

u₁ * (1 + q⁴) = 51

Во втором уравнении также вынесем u₁ за скобки:

u₁ * q * (1 + q⁴) = 102

Теперь разделим второе уравнение на первое:

(u₁ * q * (1 + q⁴)) / (u₁ * (1 + q⁴)) = 102 / 51

После сокращения получаем:

q = 2

Теперь подставим значение q обратно в первое уравнение:

u₁ * (1 + 2⁴) = 51

u₁ * (1 + 16) = 51

u₁ * 17 = 51

u₁ = 3

Теперь у нас есть u₁ = 3 и q = 2. Теперь мы можем найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используя формулу суммы:

S_n = u₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

Подставим известные значения:

3069 = 3 * (2ⁿ - 1) / (2 - 1)

3069 = 3 * (2ⁿ - 1)

1023 = 2ⁿ - 1

2ⁿ = 1024

Теперь определим n:

1024 — это 2 в степени 10, значит, n = 10.

Таким образом, значение n, соответствующее условию задачи, равно 10.