Какова длина и ширина первоначального прямоугольника, если длина в три раза больше ширины, и после увеличения длины на 5 см и ширины на 10 см его площадь увеличилась в 4 раза? Какой периметр у первоначального прямоугольника?

Алгебра 9 класс Системы уравнений алгебра задача на прямоугольник площадь прямоугольника периметр прямоугольника увеличение размеров соотношение длины и ширины решение задачи математическая задача алгебраические уравнения Новый

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Обозначим ширину первоначального прямоугольника как w, тогда длина l будет равна 3w, так как длина в три раза больше ширины.

Теперь найдем площадь первоначального прямоугольника:

• Площадь = длина × ширина = 3w × w = 3w².

По условию задачи, после увеличения длины на 5 см и ширины на 10 см, площадь увеличилась в 4 раза. Новая длина будет 3w + 5, а новая ширина w + 10.

Теперь найдем новую площадь:

• Новая площадь = (3w + 5) × (w + 10).

По условию, новая площадь равна 4 × первоначальная площадь:

• (3w + 5)(w + 10) = 4 × 3w².

Теперь раскроем левую часть уравнения:

• 3w² + 30w + 5w + 50 = 4 × 3w².
• 3w² + 35w + 50 = 12w².

Теперь перенесем все влево:

• 3w² + 35w + 50 - 12w² = 0.
• -9w² + 35w + 50 = 0.

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

• 9w² - 35w - 50 = 0.

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения: w = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 9, b = -35, c = -50.

Сначала найдем дискриминант:

• D = b² - 4ac = (-35)² - 4 × 9 × (-50) = 1225 + 1800 = 3025.

Теперь найдем корни уравнения:

• w = (35 ± √3025) / (2 × 9).
• √3025 = 55, тогда:
• w = (35 ± 55) / 18.

Теперь найдем два возможных значения для w:

• w₁ = (35 + 55) / 18 = 90 / 18 = 5.
• w₂ = (35 - 55) / 18 = -20 / 18 (отрицательное значение, не подходит).

Таким образом, ширина первоначального прямоугольника равна 5 см. Теперь найдем длину:

• l = 3w = 3 × 5 = 15 см.

Теперь мы можем найти периметр первоначального прямоугольника:

• Периметр = 2 × (длина + ширина) = 2 × (15 + 5) = 2 × 20 = 40 см.

Ответ: Длина первоначального прямоугольника 15 см, ширина 5 см, периметр 40 см.