Какова граница выражения lim ((5-x)^(1/2) -2)/(x-1) при x, стремящемся к 1?

Алгебра 9 класс Пределы функций граница выражения предел функции алгебра 9 класс lim (5-x)^(1/2) x стремится к 1 математический анализ алгебраические выражения Новый

Чтобы найти предел выражения lim ((5-x)^(1/2) - 2)/(x-1) при x, стремящемся к 1, давайте следовать определённым шагам.

1. Подставим значение x = 1 в выражение:
• При подстановке получаем: ((5-1)^(1/2) - 2)/(1-1) = (4^(1/2) - 2)/(0) = (2 - 2)/(0) = 0/0.
• Это неопределённая форма, поэтому мы не можем просто подставить значение и получить ответ.
2. Используем метод рационализации:
• Мы можем умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение, чтобы избавиться от корня:
• Сопряжённое выражение к (5-x)^(1/2) - 2 будет (5-x)^(1/2) + 2.
• Умножим и разделим на это выражение:
• lim (((5-x)^(1/2) - 2) * ((5-x)^(1/2) + 2)) / ((x-1) * ((5-x)^(1/2) + 2)).
• В числителе мы получим: (5-x) - 4 = 1 - x.
3. Теперь перепишем предел:
• lim (1 - x) / ((x - 1) * ((5-x)^(1/2) + 2)).
• Заменим (1 - x) на -(x - 1):
• lim -1 / ((5-x)^(1/2) + 2).
4. Теперь подставим x = 1:
• При x = 1: (5-1)^(1/2) + 2 = 2 + 2 = 4.
• Следовательно, предел равен: -1 / 4.

Ответ: lim ((5-x)^(1/2) - 2)/(x-1) при x, стремящемся к 1 равен -1/4.