Каковы все натуральные значения n, для которых выражение (n+3)/(n-4) принимает целые значения?

Алгебра 9 класс Рациональные выражения натуральные значения n выражение (n+3)/(n-4) целые значения алгебра решение уравнений алгебра алгебра 9 класс Новый

Для того чтобы выяснить, при каких натуральных значениях n выражение (n+3)/(n-4) принимает целые значения, начнем с анализа самого выражения.

Выражение (n+3)/(n-4) будет целым числом, если числитель (n+3) делится нацело на знаменатель (n-4). Это значит, что мы можем записать следующее условие:

(n + 3) = k * (n - 4), где k - целое число.

Теперь раскроем скобки:

n + 3 = k * n - 4k.

После этого соберем все n в одной части уравнения:

(1 - k) * n = -4k - 3.

Теперь выразим n:

n = (-4k - 3) / (1 - k).

Для того чтобы n было натуральным числом, необходимо, чтобы правая часть выражения была целым и положительным числом. Это возможно, если:

1. Знаменатель (1 - k) не равен нулю, то есть k ≠ 1.
2. Числитель (-4k - 3) делится на (1 - k) и результат положителен.

Теперь рассмотрим различные целые значения k:

• Если k = 0:
• n = (-4*0 - 3) / (1 - 0) = -3, что не является натуральным числом.
• Если k = -1:
• n = (-4*(-1) - 3) / (1 - (-1)) = (4 - 3) / 2 = 1/2, что не является целым числом.
• Если k = -2:
• n = (-4*(-2) - 3) / (1 - (-2)) = (8 - 3) / 3 = 5/3, что не является целым числом.
• Если k = -3:
• n = (-4*(-3) - 3) / (1 - (-3)) = (12 - 3) / 4 = 9/4, что не является целым числом.
• Если k = -4:
• n = (-4*(-4) - 3) / (1 - (-4)) = (16 - 3) / 5 = 13/5, что не является целым числом.
• Если k = 2:
• n = (-4*2 - 3) / (1 - 2) = (-8 - 3) / (-1) = 11, что является натуральным числом.
• Если k = 3:
• n = (-4*3 - 3) / (1 - 3) = (-12 - 3) / (-2) = 7.5, что не является целым числом.
• Если k = 4:
• n = (-4*4 - 3) / (1 - 4) = (-16 - 3) / (-3) = 19/3, что не является целым числом.

Таким образом, единственное натуральное значение n, для которого выражение (n+3)/(n-4) принимает целое значение, это n = 11.

Ответ: n = 11.