Построим график функции y = -x² + 2x + 8. Я объясню шаг за шагом, как это сделать.

1. Определим тип параболы и коэффициенты. Коэффициент при x² равен a = -1  — значит парабола ветвями вниз.

2. Найдём вершину (вершину — точка максимума).

   Координата x вершины: x_v = -b/(2a). Здесь b = 2, a = -1, значит x_v = -2/(2·-1) = 1.

   Координата y вершины: подставим x = 1 в формулу:

   y_v = -1² + 2·1 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9.

   Вершина: (1, 9). Ось симметрии: x = 1.

3. Найдём пересечения с осями.

   • Пересечение с ординатой (ось Oy): x = 0 → y = 8. Точка (0, 8).
   • Нули функции (пересечения с Ox): решим -x² + 2x + 8 = 0. Умножим на -1: x² - 2x - 8 = 0.

   Дискриминант D = (-2)² - 4·1·(-8) = 4 + 32 = 36, sqrt(D) = 6.

   Корни: x = (2 ± 6)/2 → x1 = 4, x2 = -2. Точки пересечения с Ox: (4,0) и (-2,0).

4. Составим таблицу точек для точного начертания (несколько пар для симметрии).

   • x = -3 → y = -9 - 6 + 8 = -7 → (-3, -7)
   • x = -2 → y = 0 → (-2, 0)
   • x = -1 → y = 5 → (-1, 5)
   • x = 0 → y = 8 → (0, 8)
   • x = 1 → y = 9 → (1, 9) (вершина)
   • x = 2 → y = 8 → (2, 8)
   • x = 3 → y = 5 → (3, 5)
   • x = 4 → y = 0 → (4, 0)
   • x = 5 → y = -7 → (5, -7)

5. Как строить график на клетчатой бумаге.

   1. Нарисуйте координатные оси, отметьте масштаб (1 клетка = 1 единица по x и y).
   2. Отметьте вершину (1,9) и точки из таблицы: (-3,-7), (-2,0), (-1,5), (0,8), (2,8), (3,5), (4,0), (5,-7).
   3. Соедините отмеченные точки плавной U-образной кривой (только вогнуто вниз) — это будет парабола. Учтите симметрию относительно прямой x = 1.

6. Дополнительные характеристики.

   • Область определения: все действительные числа (R).
   • Множество значений (образ): y ≤ 9, потому что вершина — максимум y = 9.
   • Ось симметрии: x = 1.

Итог: график — парабола, ветви направлены вниз, вершина в (1,9), пересечения с Ox в (-2,0) и (4,0), с Oy в (0,8). Постройте точки из таблицы и проведите плавную симметричную кривую через них.