Чтобы у уравнения ax^2 + 8x + a + 15 = 0 был только один корень, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. Дискриминант (D) для квадратного уравнения вида Ax^2 + Bx + C = 0 вычисляется по формуле:

D = B^2 - 4AC

В нашем случае:

• A = a
• B = 8
• C = a + 15

Теперь подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

D = 8^2 - 4 * a * (a + 15)

Упростим это выражение:

D = 64 - 4a(a + 15)

Теперь раскроем скобки:

D = 64 - 4a^2 - 60a

Это можно записать как:

D = -4a^2 - 60a + 64

Чтобы у уравнения был только один корень, необходимо, чтобы D = 0:

-4a^2 - 60a + 64 = 0

Умножим уравнение на -1, чтобы избавиться от отрицательных коэффициентов:

4a^2 + 60a - 64 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Для этого используем формулу корней квадратного уравнения:

a = (-B ± √(B^2 - 4AC)) / 2A

Где:

• A = 4
• B = 60
• C = -64

Сначала вычислим дискриминант для этого уравнения:

D = B^2 - 4AC = 60^2 - 4 * 4 * (-64)

D = 3600 + 1024 = 4624

Теперь найдем корни:

a = (-60 ± √4624) / (2 * 4)

Сначала находим √4624, это равно 68:

a = (-60 ± 68) / 8

Теперь найдем два значения:

1. a1 = (-60 + 68) / 8 = 8 / 8 = 1
2. a2 = (-60 - 68) / 8 = -128 / 8 = -16

Таким образом, у уравнения ax^2 + 8x + a + 15 = 0 будет только один корень при значениях a = 1 и a = -16.