СРОЧНО!!! ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!!

Помогите решить следующую систему уравнений:

• x/y + y/x = 5/2
• x² - y² = 27

Алгебра 9 класс Системы уравнений алгебра 9 класс система уравнений решение уравнений уравнения с двумя переменными x y уравнения математические задачи алгебраические выражения Новый

Давайте решим данную систему уравнений шаг за шагом.

Система уравнений:

1. x/y + y/x = 5/2
2. x² - y² = 27

Начнем с первого уравнения:

x/y + y/x = 5/2

Мы можем привести левую часть уравнения к общему знаменателю:

(x² + y²) / (xy) = 5/2

Теперь умножим обе стороны уравнения на 2xy, чтобы избавиться от дробей:

2(x² + y²) = 5xy

Перепишем это уравнение:

2x² + 2y² - 5xy = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно x и y. Давайте выразим y через x из второго уравнения:

x² - y² = 27

Это уравнение можно записать как:

y² = x² - 27

Теперь подставим это выражение для y² во второе уравнение:

2x² + 2(x² - 27) - 5xy = 0

Упростим уравнение:

2x² + 2x² - 54 - 5xy = 0

4x² - 5xy - 54 = 0

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 4x² - 5xy - 54 = 0
2. y² = x² - 27

Теперь мы можем выразить y из первого уравнения:

5xy = 4x² - 54

y = (4x² - 54) / (5x)

Теперь подставим это значение y в уравнение y² = x² - 27:

[(4x² - 54) / (5x)]² = x² - 27

Упростим это уравнение:

(16x⁴ - 432x² + 2916) / (25x²) = x² - 27

Умножим обе стороны на 25x², чтобы избавиться от дробей:

16x⁴ - 432x² + 2916 = 25x⁴ - 675x²

Переносим все в одну сторону:

16x⁴ - 25x⁴ + 675x² - 432x² + 2916 = 0

-9x⁴ + 243x² + 2916 = 0

Теперь умножим уравнение на -1:

9x⁴ - 243x² - 2916 = 0

Теперь сделаем замену: пусть z = x². Тогда у нас получится:

9z² - 243z - 2916 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-243)² - 4 * 9 * (-2916)

D = 59049 + 104976 = 164025

Теперь находим корни:

z = (243 ± √164025) / (2 * 9)

z = (243 ± 405) / 18

Это дает нам два значения для z:

1. z₁ = (648) / 18 = 36
2. z₂ = (-162) / 18 = -9 (не подходит, так как z = x² не может быть отрицательным)

Теперь, подставляя z = x², получаем:

x² = 36, следовательно, x = 6 или x = -6.

Теперь найдем соответствующие значения y:

y² = x² - 27 = 36 - 27 = 9, следовательно, y = 3 или y = -3.

Таким образом, у нас есть четыре возможных решения:

1. (6, 3)
2. (6, -3)
3. (-6, 3)
4. (-6, -3)

Теперь мы можем проверить каждую из этих пар в исходных уравнениях, чтобы убедиться, что они подходят.

Ответ:

• (6, 3)
• (6, -3)
• (-6, 3)
• (-6, -3)