Чтобы решить уравнение 15(sin² 2x + sin x + cos² 2x)² = 17 + 31sin x, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем его по частям.

1. Упрощение выражения:

   Сначала, заметим, что cos² 2x можно выразить через sin² 2x. Мы знаем, что sin² θ + cos² θ = 1. Поэтому:

   • cos² 2x = 1 - sin² 2x

   Теперь подставим это в наше уравнение:

   • sin² 2x + cos² 2x = 1
   • Таким образом, sin² 2x + cos² 2x = 1, и у нас остается:
   • 15(1 + sin x)² = 17 + 31sin x
2. Раскрытие скобок:

   Теперь раскрываем скобки:

   • (1 + sin x)² = 1 + 2sin x + sin² x

   Подставим это в уравнение:

   • 15(1 + 2sin x + sin² x) = 17 + 31sin x
3. Упрощение уравнения:

   Теперь умножим 15 на каждое из слагаемых:

   • 15 + 30sin x + 15sin² x = 17 + 31sin x

   Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

   • 15sin² x + 30sin x - 31sin x + 15 - 17 = 0

   Соберем подобные слагаемые:

   • 15sin² x - sin x - 2 = 0
4. Решение квадратного уравнения:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   • 15sin² x - sin x - 2 = 0

   Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

   • Дискриминант D = b² - 4ac
   • Здесь a = 15, b = -1, c = -2
   • D = (-1)² - 4 * 15 * (-2) = 1 + 120 = 121

   Теперь находим корни:

   • sin x = (-b ± √D) / (2a)
   • sin x = (1 ± √121) / (2 * 15)
   • sin x = (1 ± 11) / 30

   Таким образом, получаем два решения:

   • sin x = 12/30 = 2/5
   • sin x = -10/30 = -1/3
5. Нахождение углов:

   Теперь нам нужно найти значения x для этих sin x:

   • Для sin x = 2/5:
   • x = arcsin(2/5) + 2kπ и x = π - arcsin(2/5) + 2kπ, где k - любое целое число.
   • Для sin x = -1/3:
   • x = arcsin(-1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(-1/3) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения. Не забудьте, что при нахождении углов нужно учитывать периодичность функции синуса.