Как найти решение уравнения 15(sin² 2x + sin x + cos² 2x)² = 17 + 31sin x? Прошу вас, опишите процесс решения шаг за шагом.

Алгебра Колледж Тригонометрические уравнения решение уравнения алгебра шаг за шагом тригонометрические функции sin cos математические операции Новый

Чтобы решить уравнение 15(sin² 2x + sin x + cos² 2x)² = 17 + 31sin x, мы будем следовать нескольким шагам. Давайте разберем его по частям.

1. Упрощение выражения:

   Сначала, заметим, что cos² 2x можно выразить через sin² 2x. Мы знаем, что sin² θ + cos² θ = 1. Поэтому:

   • cos² 2x = 1 - sin² 2x

   Теперь подставим это в наше уравнение:

   • sin² 2x + cos² 2x = 1
   • Таким образом, sin² 2x + cos² 2x = 1, и у нас остается:
   • 15(1 + sin x)² = 17 + 31sin x
2. Раскрытие скобок:

   Теперь раскрываем скобки:

   • (1 + sin x)² = 1 + 2sin x + sin² x

   Подставим это в уравнение:

   • 15(1 + 2sin x + sin² x) = 17 + 31sin x
3. Упрощение уравнения:

   Теперь умножим 15 на каждое из слагаемых:

   • 15 + 30sin x + 15sin² x = 17 + 31sin x

   Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

   • 15sin² x + 30sin x - 31sin x + 15 - 17 = 0

   Соберем подобные слагаемые:

   • 15sin² x - sin x - 2 = 0
4. Решение квадратного уравнения:

   Теперь у нас есть квадратное уравнение:

   • 15sin² x - sin x - 2 = 0

   Используем формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

   • Дискриминант D = b² - 4ac
   • Здесь a = 15, b = -1, c = -2
   • D = (-1)² - 4 * 15 * (-2) = 1 + 120 = 121

   Теперь находим корни:

   • sin x = (-b ± √D) / (2a)
   • sin x = (1 ± √121) / (2 * 15)
   • sin x = (1 ± 11) / 30

   Таким образом, получаем два решения:

   • sin x = 12/30 = 2/5
   • sin x = -10/30 = -1/3
5. Нахождение углов:

   Теперь нам нужно найти значения x для этих sin x:

   • Для sin x = 2/5:
   • x = arcsin(2/5) + 2kπ и x = π - arcsin(2/5) + 2kπ, где k - любое целое число.
   • Для sin x = -1/3:
   • x = arcsin(-1/3) + 2kπ и x = π - arcsin(-1/3) + 2kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, мы нашли все возможные решения уравнения. Не забудьте, что при нахождении углов нужно учитывать периодичность функции синуса.