Чтобы решить уравнение sin(3x) = sin(5x) * sin(7x), мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими свойствами и упростить его. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Применение формул произведения: Мы можем использовать формулу произведения синусов:
• sin(A) * sin(B) = 1/2 [cos(A - B) - cos(A + B).
2. В нашем случае A = 5x и B = 7x. Подставляем в формулу:
• sin(5x) * sin(7x) = 1/2 [cos(5x - 7x) - cos(5x + 7x)
• sin(5x) * sin(7x) = 1/2 [cos(-2x) - cos(12x)
• Так как cos(-θ) = cos(θ), то получаем:
• sin(5x) * sin(7x) = 1/2 [cos(2x) - cos(12x).
3. Подставляем обратно в уравнение:
• Теперь у нас есть:
• sin(3x) = 1/2 [cos(2x) - cos(12x).
4. Умножим обе стороны на 2:
• 2 * sin(3x) = cos(2x) - cos(12x).
5. Переносим все в одну сторону:
• 2 * sin(3x) - cos(2x) + cos(12x) = 0.
6. Решение уравнения: Теперь мы можем использовать численные методы или графический подход для нахождения корней уравнения. Также можно использовать метод подбора или численные методы, такие как метод Ньютона.

Важно отметить, что уравнение может иметь множество решений, так как синус и косинус - периодические функции. Поэтому после нахождения первых корней, не забудьте учесть периодичность тригонометрических функций при поиске всех возможных решений.

Если у вас есть доступ к графическому калькулятору или программному обеспечению, вы можете построить графики обеих сторон уравнения и найти точки их пересечения, что также поможет в нахождении решений.