Математическое ожидание - это важное понятие в теории вероятностей и статистике, которое помогает описать ожидаемое значение случайной величины. Рассмотрим основные свойства математических ожиданий для любых случайных величин X и Y.

Если a и b - постоянные числа, то:

• E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

Это свойство показывает, что математическое ожидание линейно относительно случайных величин и их коэффициентов. Например, если вы хотите узнать ожидаемое значение суммы двух случайных величин, то вы можете просто сложить их математические ожидания.

Если c - это константа, то:

• E(c) = c

Это свойство говорит о том, что математическое ожидание постоянной величины равно самой этой величине.

Для любых случайных величин X и Y верно:

• E(X + Y) = E(X) + E(Y)

Это свойство является частным случаем линейности математического ожидания, когда a = 1 и b = 1.

Если X и Y независимы, то:

• E(XY) = E(X) * E(Y)

Это свойство позволяет находить математическое ожидание произведения независимых случайных величин, что может быть полезно в различных задачах.

Эти свойства являются основными и широко применяются в различных областях математики, статистики и экономики. Понимание этих свойств поможет вам решать задачи, связанные с вероятностными моделями и анализом данных.