Чтобы найти экстремум функции z(x, y) = x^6 + y^6, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Сначала вычислим частные производные функции z по переменным x и y:

• Частная производная по x: ∂z/∂x = 6x^5
• Частная производная по y: ∂z/∂y = 6y^5

Для нахождения критических точек необходимо приравнять частные производные к нулю:

• 6x^5 = 0
• 6y^5 = 0

Решая эти уравнения, получаем:

• x^5 = 0 => x = 0
• y^5 = 0 => y = 0

Таким образом, единственная критическая точка - это (0, 0).

Теперь нужно определить, является ли эта критическая точка минимумом, максимумом или седловой точкой. Для этого используем вторые производные:

• ∂²z/∂x² = 30x^4
• ∂²z/∂y² = 30y^4
• ∂²z/∂x∂y = 0

Теперь находим значение этих производных в точке (0, 0):

• ∂²z/∂x² (0, 0) = 30*0^4 = 0
• ∂²z/∂y² (0, 0) = 30*0^4 = 0
• ∂²z/∂x∂y (0, 0) = 0

Теперь составим матрицу Гессе:

• H = | 30x^4 0 |
• | 0 30y^4 |

Определитель матрицы Гессе:

• det(H) = (30x^4)*(30y^4) - (0)*(0) = 900x^4y^4

В точке (0, 0) этот определитель равен 0, что не позволяет однозначно определить тип экстремума.

Теперь рассмотрим поведение функции z(x, y) в окрестности точки (0, 0). Функция z(x, y) = x^6 + y^6 принимает положительные значения для всех (x, y), кроме (0, 0), где она равна нулю. Это указывает на то, что (0, 0) является минимумом функции.

Экстремум функции z(x, y) = x^6 + y^6 составляет минимум в точке (0, 0) и равен 0.