Найдите частные производные функции двух переменных z = xeʸ + yeˣ

1. ∂z/∂x = eʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + eˣ
2. ∂z/∂x = eʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + eˣ
3. ∂z/∂x = xeʸ + eˣ, ∂z/∂y = eʸ + yeˣ
4. ∂z/∂x = xeʸ + yeˣ, ∂z/∂y = xeʸ + yeˣ

Другие предметы Колледж Частные производные функций нескольких переменных частные производные функция двух переменных высшая математика колледж производные z xeʸ yeˣ математический анализ частные производные функции Новый

Чтобы найти частные производные функции двух переменных z = xe^y + ye^x, давайте поэтапно разберем процесс вычисления.

Шаг 1: Нахождение частной производной по x

Частная производная функции z по переменной x обозначается как ∂z/∂x. Мы будем считать y константой и дифференцировать z по x.

• Исходная функция: z = xe^y + ye^x
• Принимаем производную от первого слагаемого: производная от xe^y по x равна e^y (так как e^y является константой) + x * 0 = e^y.
• Теперь берем производную от второго слагаемого: производная от ye^x по x равна y * e^x (по правилу произведения).

Таким образом, мы получаем:

∂z/∂x = e^y + ye^x.

Шаг 2: Нахождение частной производной по y

Теперь найдем частную производную функции z по переменной y, обозначаемую как ∂z/∂y. В этом случае мы будем считать x константой и дифференцировать z по y.

• Исходная функция: z = xe^y + ye^x.
• Принимаем производную от первого слагаемого: производная от xe^y по y равна x * e^y (по правилу произведения).
• Теперь берем производную от второго слагаемого: производная от ye^x по y равна e^x (так как e^x является константой) + y * 0 = e^x.

Таким образом, мы получаем:

∂z/∂y = xe^y + e^x.

Итак, окончательные результаты:

• ∂z/∂x = e^y + ye^x
• ∂z/∂y = xe^y + e^x

Эти производные показывают, как функция z изменяется при изменении каждой из переменных x и y, при этом другая переменная остается фиксированной.