Чтобы найти частные производные функции двух переменных, нужно рассмотреть функцию z = xsin(y) + ysin(x) и найти ее частные производные по x и y.

Давайте начнем с нахождения частной производной по переменной x, обозначаемой как ∂z/∂x.

1. Рассматриваем функцию: z = xsin(y) + ysin(x).
2. Частная производная по x:
   • Производная от первого слагаемого xsin(y) по x равна sin(y), так как sin(y) является константой по отношению к x.
   • Производная от второго слагаемого ysin(x) по x равна ycos(x), так как y является константой по отношению к x, а производная sin(x) равна cos(x).
3. Складываем полученные результаты: ∂z/∂x = sin(y) + ycos(x).

Теперь найдем частную производную по переменной y, обозначаемую как ∂z/∂y.

1. Частная производная по y:
   • Производная от первого слагаемого xsin(y) по y равна xcos(y), так как x является константой по отношению к y, а производная sin(y) равна cos(y).
   • Производная от второго слагаемого ysin(x) по y равна sin(x), так как sin(x) является константой по отношению к y.
2. Складываем полученные результаты: ∂z/∂y = xcos(y) + sin(x).

Таким образом, частные производные функции z = xsin(y) + ysin(x) составляют:

• ∂z/∂x = sin(y) + ycos(x)
• ∂z/∂y = xcos(y) + sin(x)