Найдите область определения функции z = √(1 - xy) / (x² - y²)

Другие предметы Колледж Область определения функции область определения функции математический анализ колледж z = √(1 - xy) x² - y² функции двух переменных анализ функций условия определения функции Новый

Чтобы найти область определения функции z = √(1 - xy) / (x² - y²), нам нужно учесть два условия:

1. Условие для корня: Поскольку в числителе у нас находится квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это означает, что:
• 1 - xy ≥ 0
• xy ≤ 1
2. Условие для знаменателя: Знаменатель не должен равняться нулю, чтобы избежать деления на ноль. Это значит, что:
• x² - y² ≠ 0
• (x - y)(x + y) ≠ 0
• Следовательно, x ≠ y и x ≠ -y.

Теперь рассмотрим каждое из условий более подробно:

1. Решение неравенства xy ≤ 1: Это неравенство описывает область в координатной плоскости, ограниченную гиперболой. Мы можем выразить y через x:
• y ≤ 1/x (при x > 0)
• y ≥ 1/x (при x < 0)
• y = 1 при x = 1 (точка пересечения с осью y)
• y = -1 при x = -1 (точка пересечения с осью y)
2. Решение условия x² - y² ≠ 0: Это условие означает, что мы не можем использовать значения, при которых x = y или x = -y. То есть, мы должны исключить две линии из области определения:
• x = y
• x = -y

Таким образом, область определения функции z = √(1 - xy) / (x² - y²) включает все точки (x, y), удовлетворяющие одновременно обоим условиям:

• xy ≤ 1
• x ≠ y
• x ≠ -y

В заключение, область определения функции – это множество всех пар (x, y), которые удовлетворяют указанным выше условиям.