Найдите ∫ xe^(x²)dx

• 1) 2xeˣ + C
• 2) 2xeˣ² + C
• 3) 1/2 ⋅ xeˣ² + C
• 4) 1/2 ⋅ eˣ² + C

Другие предметы Колледж Неопределённый интеграл высшая математика интегралы колледж ∫ xe^(x²)dx методы интегрирования математический анализ решение интегралов Новый

Для решения интеграла ∫ xe^(x²) dx мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберемся, как это сделать шаг за шагом.

1. Выбор подстановки: Для интеграла ∫ xe^(x²) dx мы можем выбрать подстановку u = x². Тогда производная du будет равна 2x dx, или, что эквивалентно, x dx = (1/2) du.
2. Замена переменных: Теперь заменим переменные в нашем интеграле. Мы имеем:
   • Когда x = x, тогда u = x²;
   • dx = (1/2) du / x. Но мы уже выразили x dx как (1/2) du, поэтому:
   • xe^(x²) dx = (1/2) e^u du.
3. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать:
   • ∫ (1/2) e^u du = (1/2) e^u + C.
4. Возвращение к оригинальной переменной: Не забудем вернуться к переменной x. Мы знаем, что u = x², следовательно:
   • (1/2) e^u + C = (1/2) e^(x²) + C.

Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ xe^(x²) dx будет:

(1/2) e^(x²) + C

Это соответствует варианту 4) 1/2 ⋅ e^(x²) + C.