Для того чтобы решить данный интеграл, давайте разберемся с его составляющими и попробуем упростить выражение, прежде чем приступать к интегрированию.

Шаг 1: Анализ интеграла

Интеграл имеет вид:

∫ aˣ(1 + a⁻ˣ / √(x³))dx

Здесь a - это константа, x - переменная. Мы можем разбить интеграл на две части:

• ∫ aˣ dx
• ∫ aˣ * (a⁻ˣ / √(x³)) dx

Шаг 2: Интегрирование первой части

Первая часть интеграла:

∫ aˣ dx

Это стандартный интеграл, который можно решить по формуле:

∫ aˣ dx = (aˣ / ln(a)) + C, где C - произвольная константа.

Шаг 3: Интегрирование второй части

Теперь рассмотрим вторую часть:

∫ aˣ * (a⁻ˣ / √(x³)) dx = ∫ (1 / √(x³)) dx

Эта часть может быть решена следующим образом:

• Приведем к общему виду: 1 / √(x³) = x^(-3/2).
• Теперь интегрируем: ∫ x^(-3/2) dx = (-2 * x^(-1/2)) + C.

Шаг 4: Сложение результатов

Теперь, складывая обе части интеграла, получаем:

∫ aˣ(1 + a⁻ˣ / √(x³))dx = (aˣ / ln(a)) - 2x^(-1/2) + C.

Шаг 5: Подстановка в исходное выражение

Теперь, подставим этот результат в исходное выражение:

aˣ / ln(a) - 2√(x) + c, где c - произвольная константа.

Шаг 6: Упрощение

Ваша конечная форма интеграла будет выглядеть как:

aˣ / ln(a) - 2√(x) + c.

Таким образом, мы получили результат интегрирования, который включает в себя как экспоненциальную функцию, так и корень из переменной x. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется дальнейшее разъяснение, не стесняйтесь спрашивать!