Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x)=0.1/(x+1)-x=0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность f(x)=0.1/(x+1)-x=0 колледж численные методы Новый

Метод Ньютона (или метод Ньютона-Рафсона) является численным методом для нахождения корней уравнений. Давайте подробно разберем, как применить этот метод для уравнения f(x) = 0.1/(x + 1) - x = 0 с заданной погрешностью не более 0.01.

Шаг 1: Определение функции и её производной

Сначала запишем функцию f(x):

f(x) = 0.1/(x + 1) - x

Теперь найдем производную этой функции f'(x):

f'(x) = -0.1/(x + 1)^2 - 1

Шаг 2: Начальное приближение

Для метода Ньютона необходимо выбрать начальное приближение x0. Обычно выбирают значение, близкое к ожидаемому корню. В данном случае можно взять x0 = 0.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь мы будем итеративно применять эту формулу, пока разность между двумя последовательными значениями x не станет меньше 0.01.

Шаг 4: Итерации

1. Первое значение: x0 = 0
2. Вычисляем f(0) и f'(0):
• f(0) = 0.1/(0 + 1) - 0 = 0.1
• f'(0) = -0.1/(0 + 1)^2 - 1 = -1.1
3. Теперь находим x1:
• x1 = x0 - f(x0) / f'(x0) = 0 - 0.1 / (-1.1) = 0.090909
4. Второе значение: x1 = 0.090909
5. Вычисляем f(0.090909) и f'(0.090909):
• f(0.090909) = 0.1/(0.090909 + 1) - 0.090909 ≈ 0.001818
• f'(0.090909) ≈ -1.1 / (0.090909 + 1)^2 - 1 ≈ -1.099
6. Теперь находим x2:
• x2 = x1 - f(x1) / f'(x1) ≈ 0.090909 - 0.001818 / (-1.099) ≈ 0.090909 + 0.001655 ≈ 0.092564
7. Третье значение: x2 = 0.092564
8. Вычисляем f(0.092564) и f'(0.092564):
• f(0.092564) ≈ 0.000001
• f'(0.092564) ≈ -1.099
9. Теперь находим x3:
• x3 = x2 - f(x2) / f'(x2) ≈ 0.092564 - 0.000001 / (-1.099) ≈ 0.092564 + 0.00000091 ≈ 0.092565
10. Проверяем погрешность:
• |x3 - x2| = |0.092565 - 0.092564| = 0.000001, что меньше 0.01.

Шаг 5: Заключение

Таким образом, мы нашли корень уравнения f(x) = 0 с помощью метода Ньютона. Корень, найденный с заданной погрешностью, равен примерно 0.092565.