Вопрос: Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0.x3 - х + 7 = 0

Другие предметы Колледж Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 колледж математика численные методы Новый

Метод Ньютона — это итерационный метод для нахождения корней уравнений. Давайте разберем, как применить этот метод для уравнения f(x) = x^3 - x + 7 = 0 с заданной погрешностью не более 0.01.

Шаг 1: Определение функции и её производной

• Функция: f(x) = x^3 - x + 7
• Производная функции: f'(x) = 3x^2 - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Для метода Ньютона необходимо выбрать начальное приближение. Мы можем взять, например, x0 = -2, так как при этом значении функция f(x) будет отрицательной, а при x = -1 — положительной. Это говорит о том, что в интервале [-2, -1] есть корень.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула метода Ньютона выглядит следующим образом:

x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь мы будем итеративно вычислять значения x, пока разница между двумя последовательными значениями не станет меньше 0.01.

Шаг 4: Итерации

1. Итерация 1:
   • x0 = -2
   • f(-2) = (-2)^3 - (-2) + 7 = -8 + 2 + 7 = 1
   • f'(-2) = 3*(-2)^2 - 1 = 12 - 1 = 11
   • x1 = -2 - 1 / 11 ≈ -2.0909
2. Итерация 2:
   • x1 ≈ -2.0909
   • f(-2.0909) ≈ (-2.0909)^3 - (-2.0909) + 7 ≈ -0.854
   • f'(-2.0909) ≈ 3*(-2.0909)^2 - 1 ≈ 13.086
   • x2 ≈ -2.0909 - (-0.854) / 13.086 ≈ -2.0909 + 0.0652 ≈ -2.0257
3. Итерация 3:
   • x2 ≈ -2.0257
   • f(-2.0257) ≈ (-2.0257)^3 - (-2.0257) + 7 ≈ -0.069
   • f'(-2.0257) ≈ 3*(-2.0257)^2 - 1 ≈ 12.213
   • x3 ≈ -2.0257 - (-0.069) / 12.213 ≈ -2.0257 + 0.0057 ≈ -2.0200
4. Итерация 4:
   • x3 ≈ -2.0200
   • f(-2.0200) ≈ (-2.0200)^3 - (-2.0200) + 7 ≈ -0.002
   • f'(-2.0200) ≈ 3*(-2.0200)^2 - 1 ≈ 12.12
   • x4 ≈ -2.0200 - (-0.002) / 12.12 ≈ -2.0200 + 0.000165 ≈ -2.019835

Шаг 5: Проверка погрешности

Теперь мы проверяем разницу между x4 и x3:

|x4 - x3| = |-2.019835 - (-2.0200)| ≈ 0.000165, что меньше 0.01.

Ответ: Корень уравнения f(x) = 0 с погрешностью не более 0.01 равен примерно -2.0200.