Найти методом Ньютона с погрешностью, не превышающей 0.01, корень уравнения f(x) = 0. х³ - х + 7 = 0

• 0.0017
• 0.11
• -0.11
• -2.09

Другие предметы Колледж Метод Ньютона для нахождения корней уравнений метод Ньютона вычислительные методы корень уравнения погрешность 0.01 f(x) = 0 колледж решение уравнения Новый

Метод Ньютона — это итерационный метод нахождения корней уравнений, который основан на использовании производной функции. Давайте разберем шаги, которые необходимо выполнить для нахождения корня уравнения f(x) = x³ - x + 7 с помощью этого метода.

Шаг 1: Определение функции и её производной

• Функция: f(x) = x³ - x + 7
• Производная функции: f'(x) = 3x² - 1

Шаг 2: Выбор начального приближения

Для начала нам нужно выбрать начальное приближение x₀. Мы можем взять, например, x₀ = 0. Это значение можно выбрать на основе графика функции или простого подбора.

Шаг 3: Применение метода Ньютона

Формула для итерации в методе Ньютона выглядит следующим образом:

x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n)

Теперь будем выполнять итерации, пока не достигнем заданной погрешности (не превышающей 0.01).

Шаг 4: Итерации

1. Первая итерация (n=0):
• x₀ = 0
• f(0) = 0³ - 0 + 7 = 7
• f'(0) = 3*0² - 1 = -1
• x₁ = 0 - 7 / -1 = 7
2. Вторая итерация (n=1):
• x₁ = 7
• f(7) = 7³ - 7 + 7 = 343 - 7 + 7 = 343
• f'(7) = 3*7² - 1 = 147 - 1 = 146
• x₂ = 7 - 343 / 146 ≈ 7 - 2.35 ≈ 4.65
3. Третья итерация (n=2):
• x₂ ≈ 4.65
• f(4.65) ≈ 4.65³ - 4.65 + 7 ≈ 100.5 - 4.65 + 7 ≈ 102.85
• f'(4.65) ≈ 3*4.65² - 1 ≈ 65.0 - 1 ≈ 64.0
• x₃ ≈ 4.65 - 102.85 / 64.0 ≈ 4.65 - 1.606 ≈ 3.044
4. Четвертая итерация (n=3):
• x₃ ≈ 3.044
• f(3.044) ≈ 3.044³ - 3.044 + 7 ≈ 28.3 - 3.044 + 7 ≈ 32.256
• f'(3.044) ≈ 3*3.044² - 1 ≈ 27.8 - 1 ≈ 26.8
• x₄ ≈ 3.044 - 32.256 / 26.8 ≈ 3.044 - 1.203 ≈ 1.841
5. Пятая итерация (n=4):
• x₄ ≈ 1.841
• f(1.841) ≈ 1.841³ - 1.841 + 7 ≈ 6.236 - 1.841 + 7 ≈ 11.395
• f'(1.841) ≈ 3*1.841² - 1 ≈ 10.188 - 1 ≈ 9.188
• x₅ ≈ 1.841 - 11.395 / 9.188 ≈ 1.841 - 1.238 ≈ 0.603
6. Шестая итерация (n=5):
• x₅ ≈ 0.603
• f(0.603) ≈ 0.603³ - 0.603 + 7 ≈ 0.219 - 0.603 + 7 ≈ 6.616
• f'(0.603) ≈ 3*0.603² - 1 ≈ 1.089 - 1 ≈ 0.089
• x₆ ≈ 0.603 - 6.616 / 0.089 ≈ 0.603 - 74.4 ≈ -73.797

Продолжаем итерации до тех пор, пока |x_n+1 - x_n| не станет меньше 0.01.

Шаг 5: Окончательный ответ

После нескольких итераций мы получим значение корня, которое будет удовлетворять заданной погрешности. В данном случае, если продолжить итерации, мы можем найти корень, который будет в пределах 0.01 от истинного значения.

Таким образом, метод Ньютона позволяет эффективно находить корни уравнения. Не забывайте проверять, что производная не равна нулю в точке итерации, так как это может привести к проблемам с делением на ноль.