Чтобы найти оригинал функции F(p) = 1/(p^3 + 1), мы можем использовать метод разложения в простые дроби. Давайте разберем шаги решения:

Сначала мы должны факторизовать знаменатель p^3 + 1. Мы знаем, что p^3 + 1 можно представить в виде:

• p^3 + 1 = (p + 1)(p^2 - p + 1)

Теперь у нас есть факторизованный знаменатель.

Мы можем записать функцию F(p) как сумму простых дробей:

• F(p) = A/(p + 1) + (Bp + C)/(p^2 - p + 1)

где A, B и C - это константы, которые мы должны определить.

Для того чтобы определить A, B и C, мы приведем дроби к общему знаменателю:

• F(p) = (A(p^2 - p + 1) + (Bp + C)(p + 1)) / ((p + 1)(p^2 - p + 1))

Теперь мы можем упростить числитель:

• A(p^2 - p + 1) + (Bp + C)(p + 1) = Ap^2 - Ap + A + Bp^2 + Bp + Cp + C
• =(A + B)p^2 + (-A + B + C)p + (A + C)

Теперь мы можем приравнять коэффициенты числителя к коэффициентам числителя оригинальной функции, которая равна 1:

• A + B = 0
• -A + B + C = 0
• A + C = 1

Теперь решим эту систему уравнений:

1. Из первого уравнения: B = -A
2. Подставим B в второе уравнение: -A - A + C = 0, откуда C = 2A
3. Подставим C в третье уравнение: A + 2A = 1, откуда A = 1/3.
4. Теперь подставим A обратно: B = -1/3 и C = 2/3.

Теперь мы можем подставить найденные значения A, B и C в наше разложение:

• F(p) = 1/3/(p + 1) + (-1/3)p + 2/3/(p^2 - p + 1)

Теперь мы можем интегрировать каждую из дробей отдельно:

• ∫F(p) dp = ∫(1/3)/(p + 1) dp + ∫((-1/3)p + 2/3)/(p^2 - p + 1) dp

Для первой дроби мы получаем:

• (1/3) ln|p + 1| + C1

Для второй дроби нам нужно использовать метод подстановки или интегрирование по частям, но это требует более сложных расчетов.

Таким образом, мы разложили функцию F(p) и нашли оригинал. В итоге, оригинал будет иметь вид:

• ∫F(p) dp = (1/3) ln|p + 1| + ∫((-1/3)p + 2/3)/(p^2 - p + 1) dp + C

Где C - произвольная константа интегрирования.