Чтобы найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y = ln(x),y = 0 и x = e, а также вращающейся вокруг оси OX, мы будем использовать метод вращения. Площадь фигуры, образованной вращением кривой, можно найти с помощью интеграла.

Следуем шагам:

1. Определим границы интегрирования.

   Функция y = ln(x) пересекает ось OX (где y = 0) в точке x = 1, так как ln(1) = 0. Таким образом, мы будем интегрировать от x = 1 до x = e.

2. Запишем формулу для площади.

   Площадь фигуры, вращающейся вокруг оси OX, можно найти по формуле:

   A = π * ∫[a, b] (f(x))² dx

   где f(x) - это функция, которая в нашем случае равна ln(x),а a и b - границы интегрирования (1 и e).

3. Подставим значения в формулу.

   Теперь мы можем записать интеграл:

   A = π * ∫[1, e] (ln(x))² dx

4. Вычислим интеграл.

   Интеграл ∫ (ln(x))² dx можно вычислить по частям или воспользоваться таблицами интегралов. Результат интегрирования будет:

   ∫ (ln(x))² dx = x(ln(x))² - 2xln(x) + 2x + C

   Теперь подставим границы интегрирования:

   A = π * [ (e(ln(e))² - 2e ln(e) + 2e) - (1(ln(1))² - 2(1)ln(1) + 2(1)) ]

   С учетом того, что ln(e) = 1 и ln(1) = 0, получаем:

   A = π * [ (e(1)² - 2e(1) + 2e) - (1(0)² - 2(1)(0) + 2) ]

   A = π * [ (e - 2e + 2e) - 2 ]

   A = π * [ e - 2 ]

5. Запишем окончательный ответ.

   Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями и вращающейся вокруг оси OX, равна:

   A = π(e - 2)

Это и есть ответ на задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение по какому-либо шагу, не стесняйтесь спрашивать!