Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми 4y = x^2 и y^2 = 4x, необходимо сначала определить точки их пересечения и затем вычислить интеграл для нахождения площади между этими кривыми.

Шаг 1: Найдите точки пересечения.

1. Уравнение первой кривой: 4y = x^2.
2. Уравнение второй кривой: y^2 = 4x.

Решим систему уравнений:

1. Из первого уравнения выразим y: y = x^2 / 4.
2. Подставим это выражение для y во второе уравнение: (x^2 / 4)^2 = 4x.
3. Упростим уравнение: x^4 / 16 = 4x.
4. Умножим обе части на 16, чтобы избавиться от дроби: x^4 = 64x.
5. Перенесем все в одну сторону: x^4 - 64x = 0.
6. Вынесем x за скобки: x(x^3 - 64) = 0.
7. Решим уравнение: x = 0 или x^3 = 64.
8. Из второго уравнения: x = 4 (поскольку 4^3 = 64).

Таким образом, точки пересечения имеют координаты: (0, 0) и (4, 4).

Шаг 2: Вычислите площадь между кривыми.

Площадь между кривыми можно найти, вычитая интеграл нижней функции из интеграла верхней функции от x = 0 до x = 4.

1. Выразим y из второго уравнения: y = 2√x (положительная ветвь, так как y = -2√x будет ниже оси x).
2. Теперь у нас есть две функции:
   • y1 = x^2 / 4 (верхняя кривая в пределах от x = 0 до x = 4).
   • y2 = 2√x (нижняя кривая в пределах от x = 0 до x = 4).
3. Площадь между кривыми определяется интегралом:
   • ∫[от 0 до 4] (x^2 / 4 - 2√x) dx.
4. Вычислим интегралы:
   • Интеграл от x^2 / 4: (1/4) ∫ x^2 dx = (1/4) * (x^3/3) = x^3/12.
   • Интеграл от 2√x: 2 ∫ √x dx = 2 * (2/3) x^(3/2) = (4/3) x^(3/2).
5. Вычислим определенный интеграл:
   • Подставим пределы интегрирования для x^3/12: [4^3/12 - 0^3/12] = 64/12 = 16/3.
   • Подставим пределы интегрирования для (4/3) x^(3/2): [(4/3) * 4^(3/2) - (4/3) * 0^(3/2)] = (4/3) * 8 = 32/3.
6. Разница интегралов: (16/3) - (32/3) = -16/3.
7. Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль: 16/3.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной данными кривыми, равна 16/3 квадратных единиц.