Похожие вопросы
2025-08-25 00:27:38
Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …
- 2x⁴ + C
- −8x⁵/5 + C
- −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C
Другие предметы Колледж Неопределённый интеграл неопределенный интеграл высшая математика колледж интегрирование математические методы учебные материалы решение интегралов примеры интегралов подготовка к экзаменам Новый
2025-08-25 00:27:45
Чтобы найти неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx, мы можем использовать метод подстановки. Давайте разберем шаги решения.
Шаг 1: Подбор подстановкиДля интегрирования выражения x(1 − 2x)³, мы сделаем подстановку. Пусть:
u = 1 - 2x
Тогда, чтобы выразить dx через du, найдем производную u:
du/dx = -2 или dx = -du/2
Шаг 2: Выражение x через uТеперь найдем x через u:
u = 1 - 2x => 2x = 1 - u => x = (1 - u)/2
Шаг 3: Замена в интегралеТеперь подставим x и dx в интеграл:
∫ x(1 − 2x)³dx = ∫ ((1 - u)/2)u³(-du/2)
Упрощаем:
∫ x(1 − 2x)³dx = -1/4 ∫ (1 - u)u³ du
Шаг 4: Раскрытие скобокТеперь раскроем скобки:
-1/4 ∫ (u³ - u⁴) du = -1/4 (∫ u³ du - ∫ u⁴ du)
Шаг 5: ИнтегрированиеТеперь вычислим интегралы:
- ∫ u³ du = (u⁴)/4
- ∫ u⁴ du = (u⁵)/5
Подставляем эти результаты обратно:
-1/4 ((u⁴)/4 - (u⁵)/5) = -1/16 u⁴ + 1/20 u⁵
Шаг 6: Подстановка обратноТеперь вернемся к переменной x. Напомним, что u = 1 - 2x:
-1/16 (1 - 2x)⁴ + 1/20 (1 - 2x)⁵ + C
Шаг 7: Упрощение результатаТеперь вы можете упростить и привести к общему виду, если это необходимо. Однако, в целом, итоговый результат неопределенного интеграла будет:
∫ x(1 − 2x)³dx = -1/16 (1 - 2x)⁴ + 1/20 (1 - 2x)⁵ + C
Таким образом, мы получили ответ. Вы можете проверить, подставив его производную, и убедиться, что она равна исходной функции x(1 - 2x)³.
