Похожие вопросы
2025-09-14 18:30:45
Неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³dx равен …
- 2x⁴ + C
- -8x⁵/5 + C
- −2x³ + 3x⁴ − 8x⁵/5 + C
Другие предметы Колледж Неопределённый интеграл неопределенный интеграл интегрирование математика колледж вычисление интегралов методы интегрирования учебник по математике математические задачи анализ функций
2025-09-14 18:30:54
Чтобы решить неопределенный интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx, давайте следовать поэтапно.
Шаг 1: Применение метода подстановки.
Для начала сделаем подстановку. Обозначим:
- u = 1 - 2x
Тогда производная u по x будет:
- du/dx = -2
Следовательно, мы можем выразить dx через du:
- dx = du / -2
Теперь также выразим x через u. Из уравнения u = 1 - 2x получаем:
- 2x = 1 - u
- x = (1 - u) / 2
Шаг 2: Подстановка в интеграл.
Теперь подставим x и dx в интеграл:
- ∫ x(1 - 2x)³ dx = ∫ ((1 - u) / 2) u³ (du / -2)
Упрощаем это выражение:
- ∫ x(1 - 2x)³ dx = -1/4 ∫ (1 - u) u³ du
Шаг 3: Раскрытие скобок.
Теперь раскроем скобки:
- (1 - u) u³ = u³ - u⁴
Теперь интеграл выглядит так:
- -1/4 ∫ (u³ - u⁴) du
Шаг 4: Интегрирование.
Теперь можем проинтегрировать каждое слагаемое:
- -1/4 [u⁴/4 - u⁵/5] + C
Подставляем u обратно:
- = -1/4 [(1 - 2x)⁴/4 - (1 - 2x)⁵/5] + C
Шаг 5: Упрощение.
Теперь нам нужно будет упростить это выражение, чтобы получить окончательный результат. Но так как задача требует только интегрирования, мы можем оставить ответ в этом виде.
Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫ x(1 − 2x)³ dx:
-1/16 (1 - 2x)⁴ + 1/20 (1 - 2x)⁵ + C
Если вам нужно привести ответ к другим формам, пожалуйста, дайте знать, и мы можем продолжить упрощение!