Чтобы определить логарифмический декремент свободных затухающих колебаний механической системы, необходимо сначала рассмотреть общее дифференциальное уравнение, описывающее затухающие колебания. Обычно оно имеет следующий вид:

m * x'' + c * x' + k * x = 0

где:

• m - масса системы;
• c - коэффициент демпфирования;
• k - жесткость пружины;
• x - смещение;
• x'' - второе производное смещения (ускорение);
• x' - первое производное смещения (скорость).

Для нахождения логарифмического декремента затухающих колебаний, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите характеристическое уравнение: Для этого замените x на e^(rt),где r - корень характеристического уравнения. Подставив это в дифференциальное уравнение, вы получите характеристическое уравнение вида:
• m * r^2 + c * r + k = 0
2. Решите характеристическое уравнение: Используйте формулу дискриминанта D = c^2 - 4mk. В зависимости от значения D, корни будут различными:
• Если D > 0, система колебаний является переобусловленной;
• Если D = 0, система колебаний является критически затухающей;
• Если D < 0, система колебаний является недообусловленной и имеет комплексные корни.
3. Найдите корни уравнения: Если D < 0, корни будут вида:
• r1,2 = (-c/(2m)) ± i * (sqrt(4mk - c^2)/(2m))
4. Запишите общее решение: Оно будет иметь вид:
• x(t) = A * e^(-c/(2m) * t) * cos(ωd * t + φ),где ωd = sqrt(k/m - (c/(2m))^2.
5. Определите логарифмический декремент: Логарифмический декремент обозначается как δ и определяется по формуле:
• δ = (1/n) * ln(x(t)/x(t + T)),где T - период колебаний.
6. В случае затухающих колебаний, можно также использовать:
• δ = (c/(2m)) * (2π/ωd),где ωd - частота затухания.

Таким образом, вы можете вычислить логарифмический декремент свободных затухающих колебаний вашей механической системы, подставив известные значения массы, коэффициента демпфирования и жесткости пружины в указанные формулы.