Ожидание, или математическое ожидание, является одним из ключевых понятий в теории вероятностей и статистике. Оно представляет собой среднее значение случайной величины, которое можно интерпретировать как "центр" распределения вероятностей этой величины. Давайте подробнее рассмотрим, что это такое и как его вычислить.

Математическое ожидание случайной величины X обозначается как E(X). Оно вычисляется по-разному в зависимости от того, является ли случайная величина дискретной или непрерывной.

• Для дискретной случайной величины, которая может принимать конечное или счетное множество значений x1, x2, ..., xn с соответствующими вероятностями p1, p2, ..., pn, математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:
• E(X) = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn

• Для непрерывной случайной величины, которая имеет плотность вероятности f(x), математическое ожидание E(X) вычисляется по интегралу:
• E(X) = ∫ x * f(x) dx

Рассмотрим пример с дискретной случайной величиной. Пусть X - это количество выпавших очков при броске игральной кости. Возможные значения X: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятности для каждого значения равны 1/6. Тогда математическое ожидание E(X) будет вычисляться следующим образом:

• E(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6)
• E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3.5

Таким образом, математическое ожидание количества очков при броске игральной кости равно 3.5.

Математическое ожидание позволяет нам понять, каково "среднее" значение случайной величины, и является важным инструментом в анализе вероятностных процессов. Понимание этого понятия помогает в различных областях, таких как статистика, экономика и наука.