Чтобы определить промежуток времени, за который амплитуда собственных колебаний системы уменьшается в e раз, нам нужно рассмотреть процесс затухания колебаний.

Собственные колебания системы могут описываться экспоненциальной функцией, которая выглядит следующим образом:

A(t) = A0 * e^(-bt),

где:

• A(t) - амплитуда колебаний в момент времени t;
• A0 - начальная амплитуда;
• b - коэффициент затухания;
• e - основание натурального логарифма (примерно 2.718).

Мы хотим найти такое время t, при котором амплитуда A(t) станет равной A0/e. Подставим это в уравнение:

A0/e = A0 * e^(-bt).

Теперь, чтобы упростить уравнение, мы можем разделить обе стороны на A0 (при условии, что A0 не равно нулю):

1/e = e^(-bt).

Теперь применим натуральный логарифм к обеим сторонам уравнения:

ln(1/e) = -bt.

Поскольку ln(1/e) = -1, мы можем записать:

-1 = -bt.

Теперь выразим t:

t = 1/b.

Таким образом, промежуток времени, за который амплитуда собственных колебаний системы уменьшается в e раз, равен 1/b.

Важно отметить, что коэффициент затухания b зависит от характеристик системы, таких как сопротивление и масса. Поэтому для конкретного случая вам нужно знать значение b, чтобы рассчитать время t.