Чтобы найти абсциссу точки касания прямой y = -4x - 11 и графика функции y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции: Это необходимо для определения углового коэффициента касательной. Производная функции y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6 равна:
• y' = 3x^2 + 14x + 7
2. Угловой коэффициент касательной: Угловой коэффициент прямой y = -4x - 11 равен -4. Чтобы найти точку касания, приравняем производную к угловому коэффициенту касательной:
• 3x^2 + 14x + 7 = -4
3. Приведем уравнение к стандартному виду: Переносим -4 в левую часть уравнения:
• 3x^2 + 14x + 7 + 4 = 0
• 3x^2 + 14x + 11 = 0
4. Решим квадратное уравнение: Используем дискриминант для решения уравнения 3x^2 + 14x + 11 = 0:
• D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64
5. Найдем корни уравнения: Корни уравнения находятся по формуле:
• x = (-b ± √D) / (2a)
• x1 = (-14 + 8) / 6 = -1
• x2 = (-14 - 8) / 6 = -3.67 (приблизительно)
6. Проверим, какой из корней соответствует касательной: Подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой и функции, чтобы найти соответствующие y-координаты:
• Для x = -1: y = -4 * (-1) - 11 = -7
• y = (-1)^3 + 7 * (-1)^2 + 7 * (-1) - 6 = -1 + 7 - 7 - 6 = -7
• Для x ≈ -3.67: y = -4 * (-3.67) - 11 ≈ -0.68
• y = (-3.67)^3 + 7 * (-3.67)^2 + 7 * (-3.67) - 6 ≈ -0.68 (приблизительно)
7. Заключение: Оба корня являются точками касания, но мы искали абсциссу. В данном случае, абсцисса точки касания, которую мы нашли, равна -1.

Ответ: Абсцисса точки касания равна -1.