Чтобы найти абсциссу точки касания прямой y = -4x - 11 и графика функции y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Производная функции y = x^3 + 7x^2 + 7x - 6 даст нам наклон касательной в любой точке.
2. Вычисляем производную:
• y' = 3x^2 + 14x + 7.
3. Найдем точку касания. Поскольку прямая является касательной, ее наклон (-4) должен равняться значению производной в точке касания:
• 3x^2 + 14x + 7 = -4.
4. Перепишем уравнение:
• 3x^2 + 14x + 7 + 4 = 0
• 3x^2 + 14x + 11 = 0.
5. Решим квадратное уравнение. Используем дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 * 3 * 11 = 196 - 132 = 64.
6. Находим корни уравнения:
• x1 = (-b + √D) / (2a) = (-14 + 8) / 6 = -1.
• x2 = (-b - √D) / (2a) = (-14 - 8) / 6 = -22 / 6 = -11/3.
7. Проверим, какой из корней соответствует точке касания. Так как у нас есть два корня, мы должны проверить, какой из них соответствует уравнению касательной.
8. Подставим x = -1 в уравнение функции:
• y = (-1)^3 + 7(-1)^2 + 7(-1) - 6 = -1 + 7 - 7 - 6 = -7.
9. Подставим x = -1 в уравнение касательной:
• y = -4(-1) - 11 = 4 - 11 = -7.
10. Таким образом, точка касания действительно совпадает.

Ответ: Абсцисса точки касания равна -1.