Ранг матрицы — это максимальное число линейно независимых строк (или столбцов) в матрице. Чтобы найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований, мы можем следовать следующему алгоритму:

1. Преобразование матрицы к ступенчатому виду:
   • Выберите ненулевой элемент в первой строке и первом столбце, который станет ведущим элементом.
   • Используйте элементарные преобразования строк, чтобы занулить все элементы ниже ведущего элемента в этом столбце. Это можно сделать, добавляя или вычитая кратные ведущей строки к другим строкам.
   • Перейдите ко второй строке и второму столбцу, и повторите процесс, выбирая новый ведущий элемент и зануляя элементы ниже него.
   • Продолжайте этот процесс для всех строк и столбцов, пока не получите ступенчатую матрицу.
2. Определение ранга:
   • После того как матрица приведена к ступенчатому виду, ранг матрицы равен количеству ненулевых строк. Это связано с тем, что ненулевые строки в ступенчатой форме линейно независимы.

Элементарные преобразования строк включают:

• Перестановка двух строк.
• Умножение строки на ненулевой коэффициент.
• Добавление к одной строке другой строки, умноженной на коэффициент.

Эти преобразования не изменяют линейную зависимость строк, поэтому они безопасны для использования при определении ранга матрицы.

Таким образом, шаги включают выбор ведущих элементов, зануление элементов ниже ведущих и подсчет ненулевых строк в ступенчатой форме для определения ранга матрицы.