Чтобы определить, у какого из тел угловая скорость у основания наклонной плоскости больше, давайте рассмотрим физические принципы, связанные с движением без проскальзывания и моментом инерции.

Когда тела скатываются без проскальзывания, их кинетическая энергия состоит из поступательной и вращательной частей. Мы знаем, что:

• Поступательная кинетическая энергия: \(E_{\text{пост}} = \frac{1}{2} m v^2\)
• Вращательная кинетическая энергия: \(E_{\text{вращ}} = \frac{1}{2} I \omega^2\)

Где:

• \(m\) — масса тела
• \(v\) — линейная скорость центра масс
• \(I\) — момент инерции тела
• \(\omega\) — угловая скорость

Для тела, катящегося без проскальзывания, связь между линейной скоростью и угловой скоростью выражается формулой:

\(v = \omega r\)

где \(r\) — радиус тела.

Теперь рассмотрим моменты инерции для диска и шара:

• Для диска: \(I_{\text{диск}} = \frac{1}{2} m r^2\)
• Для шара: \(I_{\text{шар}} = \frac{2}{5} m r^2\)

Поскольку оба тела начинают движение с вершины наклонной плоскости, потенциальная энергия у них одинакова и полностью преобразуется в кинетическую энергию к моменту достижения основания плоскости. Это означает, что сумма поступательной и вращательной кинетической энергии для каждого тела будет равна начальной потенциальной энергии.

Поскольку моменты инерции различны, распределение энергии между поступательной и вращательной частями будет различным для диска и шара. У шара момент инерции меньше, чем у диска, что означает, что большая часть энергии будет преобразована в поступательную кинетическую энергию, а меньшая — в вращательную. Это приводит к тому, что шар будет иметь большую линейную скорость и, следовательно, большую угловую скорость.

Таким образом, угловая скорость у основания наклонной плоскости больше у шара.