Чтобы ответить на вопрос, существует ли функция, первообразная от которой равна удвоенной исходной функции, давайте рассмотрим, что такое первообразная функция.

Первообразная функция F(x) для функции f(x) определяется как такая функция, производная которой равна f(x). То есть:

F'(x) = f(x)

В нашем случае мы ищем функцию f(x),такая что:

F(x) = 2f(x)

Теперь, если мы возьмем производную обеих сторон этого уравнения, то получим:

F'(x) = 2f'(x)

С учетом того, что по определению F'(x) = f(x),мы можем подставить это в уравнение:

f(x) = 2f'(x)

Теперь у нас есть обыкновенное дифференциальное уравнение. Чтобы решить его, мы можем перезаписать его в следующем виде:

f'(x) = (1/2)f(x)

Это уравнение можно решить методом разделения переменных:

1. Перепишем уравнение:

df/f = (1/2)dx

2. Теперь интегрируем обе стороны:

∫(1/f) df = ∫(1/2) dx

3. Получаем:

ln|f| = (1/2)x + C

4. Где C - произвольная константа интегрирования. Теперь возводим в степень:

|f| = e^((1/2)x + C) = e^C * e^((1/2)x)

5. Обозначим e^C как K (положительная константа),получаем:

f(x) = K * e^((1/2)x)

6. Таким образом, общее решение нашего уравнения имеет вид:

f(x) = K * e^((1/2)x),где K - произвольная константа.

Таким образом, мы видим, что существует множество функций f(x),которые являются решениями этого уравнения, и каждая из них будет иметь вид K * e^((1/2)x). Следовательно, ответ на ваш вопрос:

Да, существуют функции, первообразная от которых равна удвоенной исходной функции.