Чтобы решить неравенство ((2x - 3)(x + 2)) / (x - 6) ≤ 0, начнем с нахождения нулей числителя и знаменателя.

• Числитель: (2x - 3)(x + 2) = 0
• Решим каждое из уравнений:
1. 2x - 3 = 0 → 2x = 3 → x = 3/2 = 1.5
2. x + 2 = 0 → x = -2
• Знаменатель: x - 6 = 0 → x = 6

Теперь у нас есть три ключевых значения: -2, 1.5 и 6. Эти значения разбивают числовую прямую на четыре интервала:

• (-∞, -2)
• (-2, 1.5)
• (1.5, 6)
• (6, +∞)

Теперь проверим знак выражения ((2x - 3)(x + 2)) / (x - 6) на каждом из этих интервалов:

• Интервал (-∞, -2): выберем x = -3:
• ((2 * -3 - 3)(-3 + 2)) / (-3 - 6) = ((-6 - 3)(-1)) / (-9) = (9) / (-9) = -1 (≤ 0)
• Интервал (-2, 1.5): выберем x = 0:
• ((2 * 0 - 3)(0 + 2)) / (0 - 6) = ((-3)(2)) / (-6) = 6 / (-6) = -1 (≤ 0)
• Интервал (1.5, 6): выберем x = 5:
• ((2 * 5 - 3)(5 + 2)) / (5 - 6) = ((10 - 3)(7)) / (-1) = (7 * 7) / (-1) = -49 (> 0)
• Интервал (6, +∞): выберем x = 7:
• ((2 * 7 - 3)(7 + 2)) / (7 - 6) = ((14 - 3)(9)) / (1) = (11 * 9) / (1) = 99 (> 0)

Теперь подведем итоги:

• На интервале (-∞, -2) выражение ≤ 0.
• На интервале (-2, 1.5) выражение ≤ 0.
• На интервале (1.5, 6) выражение > 0.
• На интервале (6, +∞) выражение > 0.

Теперь проверим, включаем ли мы границы:

• В точке -2: ((2 * -2 - 3)(-2 + 2)) / (-2 - 6) = 0 (включаем)
• В точке 1.5: ((2 * 1.5 - 3)(1.5 + 2)) / (1.5 - 6) = 0 (включаем)
• В точке 6: ((2 * 6 - 3)(6 + 2)) / (6 - 6) не определено (не включаем)

Таким образом, множество решений неравенства: