Для нахождения первообразной функции f(x) = 1/cos(2x) * tg(x) + 5 - 1/sin(2x) - 3 - (-tg(x)) - (cos(x)) - 1, давайте сначала упростим выражение. Мы можем упростить его, собрав подобные члены и упорядочив их.

1. Начнем с упрощения функции:

• tg(x) = sin(x)/cos(x), поэтому 1/cos(2x) * tg(x) = sin(x)/[cos(2x) * cos(x)].
• Также обратим внимание на термины: -(-tg(x)) = tg(x), и -1 + 5 - 3 - 1 = 0.

Таким образом, мы можем переписать функцию f(x) следующим образом:

f(x) = sin(x)/[cos(2x) * cos(x)] + tg(x).

2. Теперь найдем первообразную для каждого из членов. Рассмотрим их по отдельности:

• Первая часть: sin(x)/[cos(2x) * cos(x)].
• Вторая часть: tg(x) = sin(x)/cos(x).

3. Найдем первообразную для tg(x):

Первообразная tg(x) равна ln|sec(x)| + C, где C - произвольная константа.

4. Перейдем к первой части. Чтобы найти первообразную для sin(x)/[cos(2x) * cos(x)], мы можем использовать метод подстановки или интегрирование по частям, но это может быть довольно сложным. Вместо этого, мы можем оставить эту часть как интеграл и обозначить его как I:

I = ∫(sin(x)/[cos(2x) * cos(x)]) dx.

5. Таким образом, полная первообразная будет выглядеть следующим образом:

F(x) = I + ln|sec(x)| + C.

6. Важно отметить, что для нахождения точного значения интеграла I потребуется более глубокий анализ и, возможно, использование тригонометрических идентичностей или специальных методов интегрирования.

В заключение, первообразная функции f(x) включает в себя сложный интеграл, который может быть решен с помощью дополнительных методов, и простую первообразную для tg(x):

F(x) = I + ln|sec(x)| + C.