Криволинейный интеграл второго рода (или интеграл по кривой) используется для вычисления работы векторного поля вдоль кривой. Рассмотрим, как его вычислить шаг за шагом.

Сначала определим кривую, вдоль которой мы будем интегрировать. Пусть кривая задается параметрически, например, в виде вектора r(t) = (x(t),y(t)),где t изменяется от a до b.

Затем определим векторное поле F, которое мы будем интегрировать. Пусть F = (P(x, y),Q(x, y)),где P и Q - функции, зависящие от x и y.

Теперь подставим параметризацию кривой в векторное поле. То есть заменим x и y в F на x(t) и y(t). Таким образом, мы получим:

• P(x(t),y(t))
• Q(x(t),y(t))

Вычислим производные x'(t) и y'(t),которые нужны для вычисления дифференциала длины кривой. Это делается следующим образом:

• x'(t) = dx/dt
• y'(t) = dy/dt

Теперь мы можем записать криволинейный интеграл второго рода:

∫C F · dr = ∫(a to b) (P(x(t),y(t)) * x'(t) + Q(x(t),y(t)) * y'(t)) dt

Теперь вычисляем интеграл, подставляя значения P и Q, а также производные x'(t) и y'(t). Это может потребовать интегрирования по частям или других методов, в зависимости от сложности функции.

Не забудьте подставить пределы интегрирования от a до b, чтобы получить окончательный результат.

Допустим, у нас есть кривая, заданная параметрически как r(t) = (t, t^2) для t от 0 до 1, и векторное поле F = (y, x). Мы можем пройти все шаги:

1. Параметризация: r(t) = (t, t^2)
2. Векторное поле: F = (t^2, t)
3. Производные: x'(t) = 1, y'(t) = 2t
4. Интеграл: ∫(0 to 1) (t^2 * 1 + t * 2t) dt = ∫(0 to 1) (t^2 + 2t^2) dt = ∫(0 to 1) 3t^2 dt
5. Вычисляем интеграл: 3 * [t^3/3] от 0 до 1 = 3 * (1/3 - 0) = 1.

Таким образом, мы получили значение криволинейного интеграла второго рода.