Дан неопределенный интеграл ∫x³lnxdx.
Решите его методом по частям и укажите верный ответ.

• (lnx) x/4 – 1/16 x + C.
• x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.
• (lnx) x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.

Другие предметы Университет Неопределенные интегралы неопределенный интеграл интегрирование по частям математика университет решение интеграла интеграл x³lnx методы интегрирования высшая математика математический анализ Новый

Чтобы решить интеграл ∫x³ln(x)dx методом интегрирования по частям, начнем с выбора функций u и dv.

Шаг 1: Выбор функций

• Пусть u = ln(x), тогда du = (1/x)dx.
• Пусть dv = x³dx, тогда v = (1/4)x⁴.

Шаг 2: Применение формулы интегрирования по частям

Формула интегрирования по частям выглядит так:

∫u dv = uv - ∫v du

Теперь подставим наши функции в формулу:

• uv = ln(x) * (1/4)x⁴ = (1/4)x⁴ln(x).
• du = (1/x)dx, поэтому v du = (1/4)x⁴ * (1/x)dx = (1/4)x³dx.

Шаг 3: Подстановка в формулу

Теперь подставляем все в формулу:

∫x³ln(x)dx = (1/4)x⁴ln(x) - ∫(1/4)x³dx.

Шаг 4: Вычисление оставшегося интеграла

Вычислим интеграл ∫(1/4)x³dx:

• ∫(1/4)x³dx = (1/4) * (1/4)x⁴ = (1/16)x⁴.

Шаг 5: Собираем все вместе

Теперь подставим результат обратно:

∫x³ln(x)dx = (1/4)x⁴ln(x) - (1/16)x⁴ + C.

Итак, окончательный ответ:

∫x³ln(x)dx = (1/4)x⁴ln(x) - (1/16)x⁴ + C.

Таким образом, правильный ответ: (ln(x)) x⁴/4 – 1/16 x⁴ + C.