Рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

(2x+1) y' + y = x

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Чтобы его решить, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте пройдем через шаги решения:

1. Приведение уравнения к стандартному виду:

   Начнем с преобразования уравнения к стандартному виду линейного уравнения:

   y' + P(x)y = Q(x)

   Для этого разделим все уравнение на (2x+1):

   y' + (1/(2x+1))y = x/(2x+1)

   Теперь у нас есть P(x) = 1/(2x+1) и Q(x) = x/(2x+1).

2. Нахождение интегрирующего множителя:

   Интегрирующий множитель μ(x) находится по формуле:

   μ(x) = e^(∫P(x)dx)

   В нашем случае:

   μ(x) = e^(∫(1/(2x+1))dx)

   Это интеграл от 1/(2x+1),который равен (1/2)ln|2x+1|.

   Следовательно, интегрирующий множитель будет:

   μ(x) = e^((1/2)ln|2x+1|) = |2x+1|^(1/2)

3. Умножение уравнения на интегрирующий множитель:

   Теперь умножим все уравнение на μ(x):

   |2x+1|^(1/2)y' + |2x+1|^(1/2)(1/(2x+1))y = |2x+1|^(1/2)x/(2x+1)

   После упрощения у нас получится:

   (d/dx)(|2x+1|^(1/2)y) = |2x+1|^(1/2)x/(2x+1)

4. Интегрирование обеих частей:

   Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения:

   ∫(d/dx)(|2x+1|^(1/2)y)dx = ∫|2x+1|^(1/2)x/(2x+1)dx

   Левая часть интеграции даст нам |2x+1|^(1/2)y.

   Для правой части интеграции, мы можем упростить выражение:

   ∫x/(2x+1)^(1/2)dx

   Это интеграл, который можно решить с помощью замены переменной, например, положив u = (2x+1),и затем интегрируя.

5. Нахождение общего решения:

   После интеграции мы получим выражение для y в зависимости от x. Не забудьте добавить константу интегрирования C.

   Таким образом, общее решение уравнения будет иметь вид:

   y = (1/|2x+1|^(1/2))(решение интеграла + C)

Это общий процесс решения данного линейного дифференциального уравнения первого порядка. Если у вас есть конкретные вопросы по шагам или требуется дополнительное пояснение, пожалуйста, дайте знать!