Дано: (1+i)⁵ / (1−i)³. Вычислить.

• 4
• 2
• 6

Другие предметы Университет Комплексные числа высшая математика университет комплексные числа вычисления алгебра задачи по математике математический анализ формулы примеры решений Новый

Чтобы вычислить выражение (1+i)⁵ / (1−i)³, давайте разберем его по шагам.

Шаг 1: Вычислим (1+i)⁵

Для этого воспользуемся формулой бинома Ньютона, которая выглядит так:

(a + b)ⁿ = Σ (n! / (k! * (n-k)!)) * a^(n-k) * b^k, где k = 0, 1, ..., n.

В нашем случае a = 1, b = i и n = 5. Подставим значения:

• k = 0: 1^5 * i^0 = 1
• k = 1: 5! / (1! * 4!) * 1^4 * i^1 = 5 * i = 5i
• k = 2: 5! / (2! * 3!) * 1^3 * i^2 = 10 * (-1) = -10
• k = 3: 5! / (3! * 2!) * 1^2 * i^3 = 10 * (-i) = -10i
• k = 4: 5! / (4! * 1!) * 1^1 * i^4 = 5 * 1 = 5
• k = 5: 5! / (5! * 0!) * 1^0 * i^5 = 1 * i = i

Теперь сложим все результаты:

(1+i)⁵ = 1 + 5i - 10 - 10i + 5 + i = (-4 - 4i).

Шаг 2: Вычислим (1−i)³

Аналогично, используя формулу бинома Ньютона, где a = 1, b = -i и n = 3:

• k = 0: 1^3 * (-i)^0 = 1
• k = 1: 3! / (1! * 2!) * 1^2 * (-i)^1 = 3 * (-i) = -3i
• k = 2: 3! / (2! * 1!) * 1^1 * (-i)^2 = 3 * (-1) = -3
• k = 3: 3! / (3! * 0!) * 1^0 * (-i)^3 = 1 * (-i) = -i

Теперь сложим все результаты:

(1−i)³ = 1 - 3i - 3 - i = (-2 - 4i).

Шаг 3: Поделим (1+i)⁵ на (1−i)³

Теперь у нас есть:

(1+i)⁵ = -4 - 4i и (1−i)³ = -2 - 4i.

Теперь делим:

(-4 - 4i) / (-2 - 4i).

Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:

Сопряженное значение (-2 - 4i) будет (-2 + 4i).

Умножаем:

• Числитель: (-4 - 4i)(-2 + 4i) = 8 - 16i + 8i - 16 = -8 - 8i.
• Знаменатель: (-2 - 4i)(-2 + 4i) = 4 + 8i + 8i + 16 = 20.

Теперь у нас есть:

(-8 - 8i) / 20 = -2/5 - 2/5i.

Ответ:

Итак, результат вычисления (1+i)⁵ / (1−i)³ равен -2/5 - 2/5i.