Дано дифференциальное уравнение: y'+2y=4x.Решите это уравнение.
​​

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение решение уравнения математика университет y'+2y=4x методы решения дифференциальных уравнений Новый

Для решения данного дифференциального уравнения y' + 2y = 4x, мы будем использовать метод интегрирующего множителя. Давайте пройдем через все шаги по порядку.

1. Определим стандартную форму уравнения: Уравнение уже имеет стандартный вид, где y' - это производная функции y по x, а 2y и 4x - это линейные члены.
2. Найдем интегрирующий множитель: Интегрирующий множитель m(x) вычисляется по формуле:

   m(x) = e^(∫P(x)dx),

   где P(x) - коэффициент при y в уравнении, в нашем случае P(x) = 2.

   Теперь вычислим интеграл:

   ∫2dx = 2x.

   Следовательно, интегрирующий множитель будет:

   m(x) = e^(2x).

3. Умножим все уравнение на интегрирующий множитель: Умножим каждую часть уравнения на e^(2x):

   e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4xe^(2x).

4. Применим правило производной для произведения: Левую часть уравнения можно записать как производную:

   (e^(2x)y)' = 4xe^(2x).

5. Интегрируем обе стороны: Теперь интегрируем обе стороны уравнения:

   ∫(e^(2x)y)' dx = ∫4xe^(2x) dx.

   Левая часть интеграла просто даст e^(2x)y.

   Для правой части интеграла используем интегрирование по частям:

   • Выбираем u = 4x, dv = e^(2x)dx.
   • Тогда du = 4dx, v = (1/2)e^(2x).
   • Теперь применяем формулу интегрирования по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.
   • Получаем: ∫4xe^(2x)dx = (4x)(1/2)e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)(4)dx.
   • Это равно: 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.
6. Подставим результат обратно: Мы имеем:

   e^(2x)y = 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C.

7. Решим для y: Разделим обе стороны на e^(2x):

   y = 2x - 2 + Ce^(-2x).

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения: y = 2x - 2 + Ce^(-2x), где C - произвольная константа.