Чтобы решить данное дифференциальное уравнение первого порядка, y' + 2y = 4x, мы используем метод нахождения общего решения линейных дифференциальных уравнений. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Определите вид уравнения: Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами.
2. Найдите общее решение: Общее решение линейного дифференциального уравнения состоит из суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
3. Решите однородное уравнение:
   • Однородное уравнение имеет вид: y' + 2y = 0.
   • Решим его, применяя метод разделения переменных или зная стандартную формулу для линейных уравнений: y = Ce^(-2x),где C — произвольная константа.
4. Найдите частное решение неоднородного уравнения:
   • Для уравнения y' + 2y = 4x, мы ищем частное решение в виде y_p = Ax + B, где A и B — константы.
   • Подставим y_p в уравнение: (Ax + B)' + 2(Ax + B) = 4x.
   • После дифференцирования и упрощения получаем: A + 2Ax + 2B = 4x.
   • Сравниваем коэффициенты: 2A = 4 и A + 2B = 0.
   • Решаем систему уравнений: A = 2 и 2 + 2B = 0, отсюда B = -1.
   • Таким образом, частное решение: y_p = 2x - 1.
5. Запишите общее решение: Общее решение уравнения — это сумма общего решения однородного уравнения и частного решения:
   • y = Ce^(-2x) + 2x - 1.

Теперь, сравнивая с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ: 2x - 1 + C⋅e⁻²ˣ.