Для решения данного дифференциального уравнения y' + 2y = 4x, мы будем использовать метод интегрирующего множителя.

Шаг 1: Найдем интегрирующий множитель.

Интегрирующий множитель μ(x) определяется как e^(∫P(x)dx), где P(x) - коэффициент при y в уравнении. В нашем случае P(x) = 2.

Следовательно, мы находим:

• ∫P(x)dx = ∫2dx = 2x.
• μ(x) = e^(2x).

Шаг 2: Умножим уравнение на интегрирующий множитель.

Умножаем все уравнение на e^(2x):

e^(2x)y' + 2e^(2x)y = 4xe^(2x).

Шаг 3: Преобразуем левую часть уравнения.

Левая часть уравнения может быть записана как производная произведения:

(e^(2x)y)' = 4xe^(2x).

Шаг 4: Интегрируем обе стороны уравнения.

Теперь интегрируем обе стороны:

• ∫(e^(2x)y)'dx = ∫4xe^(2x)dx.

Для интегрирования правой части используем интегрирование по частям:

• Пусть u = 4x, dv = e^(2x)dx.
• Тогда du = 4dx, v = (1/2)e^(2x).

Теперь применяем формулу интегрирования по частям:

∫udv = uv - ∫vdu.

Получаем:

∫4xe^(2x)dx = 4x*(1/2)e^(2x) - ∫(1/2)e^(2x)*4dx = 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C.

Шаг 5: Записываем общее решение.

Теперь у нас есть:

e^(2x)y = 2xe^(2x) - 2e^(2x) + C.

Делим обе стороны на e^(2x):

y = 2x - 2 + Ce^(-2x).

Шаг 6: Записываем окончательное решение.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

y = 2x - 2 + C*e^(-2x).

Теперь сравним с предложенными вариантами:

• 5x - 2 + C*e^(-2x) - неверно;
• 4x - 1 + C*e^(-2x) - неверно;
• 2x - 1 + C*e^(-2x) - неверно.

Мы видим, что ни один из предложенных вариантов не совпадает с нашим решением. Правильный ответ: y = 2x - 2 + C*e^(-2x).