Дано линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
y''-4y'+5y=0. Решите это уравнение

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения линейное дифференциальное уравнение уравнение второго порядка решение уравнения математический анализ университетская математика Новый

Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение второго порядка вида y'' - 4y' + 5y = 0, мы будем следовать определенным шагам.

Шаг 1: Найдем характеристическое уравнение.

Для этого мы предполагаем, что решение уравнения имеет вид y = e^(rt), где r - это корень, который мы найдем. Подставляя это предположение в уравнение, мы получаем:

y'' = r^2 e^(rt), y' = r e^(rt)

Подставим y, y', y'' в уравнение:

r^2 e^(rt) - 4r e^(rt) + 5 e^(rt) = 0

Вынесем e^(rt) за скобки (так как e^(rt) не равно нулю):

r^2 - 4r + 5 = 0

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение.

Теперь нам нужно решить квадратное уравнение r^2 - 4r + 5 = 0. Для этого используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -4, c = 5.

Подставим значения:

• D = (-4)^2 - 4 * 1 * 5 = 16 - 20 = -4.

Поскольку дискриминант отрицательный (D < 0), это означает, что у нас будут комплексные корни.

Шаг 3: Найдем корни уравнения.

Корни можно найти по формуле:

r = ( -b ± √D ) / (2a)

Подставим значения:

• r1 = (4 + √(-4)) / 2 = 2 + i
• r2 = (4 - √(-4)) / 2 = 2 - i

Шаг 4: Запишем общее решение.

Так как у нас комплексные корни, общее решение будет иметь вид:

y(t) = e^(αt) * (C1 * cos(βt) + C2 * sin(βt)),

где α = 2, β = 1, C1 и C2 - произвольные константы.

Таким образом, общее решение нашего уравнения:

y(t) = e^(2t) * (C1 * cos(t) + C2 * sin(t)).

Это и есть решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка.