Дано: ∫ Xdx / (X² − 5). Найти интегралы.

• 1/2 ⋅ ln|X² − 5| + C.
• 2ln|X + 5||X − 5| + C.
• 1/2 ⋅ ln|X²| + C.

Другие предметы Университет Неопределенные интегралы высшая математика интегралы интегрирование университет математический анализ учебные материалы решение интегралов математические формулы высшая математика университет примеры интегралов Новый

Для решения интеграла ∫ Xdx / (X² − 5) мы будем использовать метод разложения на простые дроби и подстановку. Давайте разберем шаги подробнее.

1. Определим интеграл:

   Мы имеем интеграл вида ∫ Xdx / (X² − 5).

2. Разложим интеграл:

   Мы можем заметить, что в числителе стоит X, а в знаменателе X² − 5. Чтобы упростить интеграл, мы можем использовать подстановку.

3. Подстановка:

   Пусть u = X² − 5. Тогда du/dx = 2X, что означает, что du = 2Xdx, или Xdx = (1/2)du.

4. Перепишем интеграл:

   Теперь мы можем выразить интеграл через u:

   ∫ Xdx / (X² − 5) = ∫ (1/2) du / u.

5. Интегрируем:

   Интеграл ∫ (1/2) du / u равен (1/2) ln|u| + C, где C – произвольная константа интегрирования.

6. Возвращаемся к переменной X:

   Подставляем обратно u = X² − 5:

   (1/2) ln|X² − 5| + C.

7. Записываем ответ:

   Таким образом, окончательный ответ на интеграл:

   ∫ Xdx / (X² − 5) = (1/2) ln|X² − 5| + C.

Теперь, если рассмотреть предложенные варианты ответов:

• 1/2 ⋅ ln|X² − 5| + C - верно
• 2ln|X + 5||X − 5| + C - неверно
• 1/2 ⋅ ln|X²| + C - неверно

Таким образом, правильный ответ: 1/2 ⋅ ln|X² − 5| + C.