Дано: y"-6y'+9y'=xe^3x. Решить дифференциальные уравнения.

• y_част = x²(Ax + B)e^3x.
• y_част = y²(A + Bx)e^3x.
• y_част = x²(A − B)e^3x.

Другие предметы Университет Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения высшая математика университет решение уравнений математический анализ метод вариации постоянных линейные уравнения учебные материалы математические задачи подготовка к экзаменам Новый

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, начнем с его записи:

y'' - 6y' + 9y = xe^(3x)

Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y'' - 6y' + 9y = 0

Для этого найдем характеристическое уравнение:

r^2 - 6r + 9 = 0

Решим его с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = 6^2 - 4*1*9 = 36 - 36 = 0

Так как дискриминант равен нулю, у нас есть двойной корень:

r = 3

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_одн = C1 * e^(3x) + C2 * x * e^(3x)

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения. Мы видим, что правая часть имеет вид xe^(3x). Поскольку e^(3x) уже присутствует в общем решении, мы умножим наше предположение на x для учета этого факта.

Попробуем следующее предположение для частного решения:

y_част = x^2(Ax + B)e^(3x)

Теперь нам нужно найти производные y_част:

1. Первая производная:
2. y_част' = (3Ax^2 + 2Ax + B)e^(3x) + x^2(Ax + B)(3e^(3x))
3. Вторая производная:
4. y_част'' = (производная от первой производной)

После нахождения производных подставим y_част, y_част' и y_част'' в исходное уравнение:

y'' - 6y' + 9y = xe^(3x)

Сравнив коэффициенты при xe^(3x), мы сможем найти значения A и B.

После нахождения A и B подставим их в общее решение:

y = C1 * e^(3x) + C2 * x * e^(3x) + y_част

Таким образом, полное решение будет состоять из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Если у вас есть конкретные значения для A и B или дополнительные вопросы по этому процессу, пожалуйста, дайте знать!