Чтобы определить, является ли данное дифференциальное уравнение линейным или однородным, давайте разберемся с каждым из этих понятий:

• Линейное дифференциальное уравнение: Это уравнение, в котором неизвестная функция и ее производные появляются только в первой степени и не умножаются друг на друга. Линейное уравнение имеет общий вид: a(x)y' + b(x)y = c(x), где a(x), b(x), и c(x) — заданные функции.
• Однородное дифференциальное уравнение: Это уравнение, в котором все члены имеют одинаковую степень однородности. Для уравнений первого порядка, если уравнение можно записать в виде y' = f(y/x), то оно является однородным.

Теперь давайте проанализируем данное уравнение: xy' − y = xe^(y/x).

1. Проверка на линейность: Для линейного уравнения вида a(x)y' + b(x)y = c(x) у нас есть:
   • a(x) = x
   • b(x) = -1
   • c(x) = xe^(y/x)
   Уравнение не является линейным, так как правая часть xe^(y/x) зависит от y нелинейно. Таким образом, уравнение не соответствует форме линейного уравнения.
2. Проверка на однородность: Для проверки на однородность мы должны иметь возможность выразить уравнение в виде y' = f(y/x). В данном случае, уравнение не может быть приведено к такому виду, так как правая часть xe^(y/x) не является функцией только от y/x.

Таким образом, данное дифференциальное уравнение не является ни линейным, ни однородным.